ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      



Задача 107837

Темы:   [ Турниры и турнирные таблицы ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

В круговом турнире не было ничьих, за победу присуждалось 1 очко, за поражение – 0. Затем был определен коэффициент каждого участника. Он равнялся сумме очков, набранных теми, кого победил данный спортсмен. Оказалось, что у всех участников коэффициенты равны. Число участников турнира больше двух. Докажите, что все спортсмены набрали одинаковое количество очков.

Прислать комментарий     Решение

Задача 107834

Темы:   [ Четырехугольники (экстремальные свойства) ]
[ Перенос помогает решить задачу ]
[ Параллелограмм Вариньона ]
[ Неравенство треугольника (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Докажите, что среди четырехугольников с заданными длинами диагоналей и углом между ними наименьший периметр имеет параллелограмм.
Прислать комментарий     Решение


Задача 107838

Темы:   [ Десятичная система счисления ]
[ Рациональные и иррациональные числа ]
[ Принцип Дирихле (углы и длины) ]
[ Показательные функции и логарифмы (прочее) ]
[ Последовательности (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11

Рассмотрим степени пятерки: 1, 5, 25, 125, 625, ... Образуем последовательность их первых цифр: 1, 5, 2, 1, 6, ...
Докажите, что любой кусок этой последовательности, записанный в обратном порядке, встретится в последовательности первых цифр степеней двойки  (1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, ...).

Прислать комментарий     Решение

Задача 107833

Темы:   [ Ортогональная проекция (прочее) ]
[ Выпуклые тела ]
[ Расстояние между двумя точками. Уравнение сферы ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11

Существует ли выпуклое тело, отличное от шара, ортогональные проекции которого на некоторые три попарно перпендикулярные плоскости являются кругами?
Прислать комментарий     Решение


Задача 107836

Темы:   [ Теорема Виета ]
[ Графики и ГМТ на координатной плоскости ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

Даны такие действительные числа  a1a2a3  и  b1b2b3,  что

a1 + a2 + a3 = b1 + b2 + b3,   a1a2 + a2a3 + a1a3 = b1b2 + b2b3 + b1b3.
Докажите, что если  a1b1,  то  a3b3.

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .