Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 [Всего задач: 54]

Задача 109841 (#06.5.11.4)

Темы:	[	Биссектриса делит дугу пополам	]
	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее)	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Отрезок, видимый из двух точек под одним углом	]
	[	Средняя линия треугольника	]
	[	Вспомогательные равные треугольники	]
	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]
	[	Отношения линейных элементов подобных треугольников	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Емельянов Л.А.

Биссектрисы BB₁ и CC₁ треугольника ABC пересекаются в точке I. Прямая B₁C₁ пересекает описанную окружность треугольника ABC в точках M и N.
Докажите, что радиус описанной окружности треугольника MIN вдвое больше радиуса описанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109842 (#06.5.11.5)

Темы:	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Алгебраические неравенства (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 1,2

Автор: Голованов А.С.

Последовательности положительных чисел (x_n) и (y_n) удовлетворяют условиям при всех натуральных n. Докажите, что если все числа x₁, x₂, y₁, y₂ больше 1, то x_n > y_n при каком-нибудь натуральном n.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109843 (#06.5.11.6)

Темы:	[	Сфера, описанная около тетраэдра	]
	[	Теорема о трех перпендикулярах	]
	[	Высота пирамиды (тетраэдра)	]
	[	Теорема Пифагора в пространстве	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Бахарев Ф.

Окружность с центром I , вписанная в грань ABC треугольной пирамиды SABC , касается отрезков AB , BC , CA в точках D , E , F соответственно. На отрезках SA , SB , SC отмечены соответственно точки A' , B' , C' так, что AA'=AD , BB'=BE , CC'=CF ; S' – точка на описанной сфере пирамиды, диаметрально противоположная точке S . Известно, что SI является высотой пирамиды. Докажите, что точка S' равноудалена от точек A' , B' , C' .

Прислать комментарий Решение

Задача 109844 (#06.5.11.7)

Темы:	[	Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов	]
	[	Свойства коэффициентов многочлена	]
	[	Четность и нечетность	]
	[	Арифметика остатков (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Гарбер А.

Известно, что многочлен (x + 1)ⁿ – 1 делится на некоторый многочлен P(x) = x^k + c_k–1x^k–1 + c_k–2x^k–2 + ... + c₁x + c₀ чётной степени k, у которого все коэффициенты – целые нечётные числа. Докажите, что n делится на k + 1.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 [Всего задач: 54]