Страница:
<< 12 13 14 15
16 17 18 >> [Всего задач: 259]
|
|
Сложность: 5 Классы: 9,10,11
|
Ортогональной проекцией тетраэдра на плоскость одной из его граней является трапеция площади 1. Может ли ортогональной проекцией этого тетраэдра на плоскость другой его грани быть квадрат площади 1?
|
|
Сложность: 5 Классы: 10,11
|
В треугольнике $ABC$ высоты $BE$ и $CF$ пересекаются в точке $H$, точка $M$ — середина стороны $BC$, а $X$ — точка пересечения внутренних касательных к окружностям, вписанным в треугольники $BMF$ и $CME$. Докажите, что точки $X$, $M$ и $H$ лежат на одной прямой.
|
|
Сложность: 5 Классы: 9,10,11
|
В треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $120^\circ$. Точка $I$ – центр вписанной окружности, $M$ – середина $BC$. Прямая, проходящая через $M$ и параллельная $AI$, пересекает окружность с диаметром $BC$ в точках $E$ и $F$ (точки $A$ и $E$ лежат в одной полуплоскости относительно прямой $BC$). Прямая, проходящая через $E$ и перпендикулярная $FI$, пересекает прямые $AB$ и $AC$ в точках $P$ и $Q$. Найдите угол $PIQ$.
|
|
Сложность: 5 Классы: 10,11
|
Можно ли расположить в пространстве 12 прямоугольных параллелепипедов
P1 ,
P2 ,
P12
,
ребра которых параллельны координатным осям
Ox ,
Oy ,
Oz так, чтобы
P2 пересекался (т.е. имел хотя бы одну общую точку)
с каждым из оставшихся, кроме
P1 и
P3 ,
P3 пересекался с каждым из оставшихся, кроме
P2 и
P4 , и т.д.,
P12
пересекался с каждым из оставшихся, кроме
P11
и
P1 ,
P1 пересекался с каждым из оставшихся, кроме
P12
и
P2 ?
(Поверхность параллелепипеда принадлежит ему.)
|
|
Сложность: 5+ Классы: 10,11
|
В тетраэдр
ABCD , длины всех ребер которого не более 100, можно поместить
две непересекающиеся сферы диаметра 1. Докажите, что в него можно поместить
одну сферу диаметра 1,01.
Страница:
<< 12 13 14 15
16 17 18 >> [Всего задач: 259]