В этом кратком справочнике поясняются понятия и теоремы, упоминаемые в книгах и задачах, опубликованных на нашем сайте. Справочник ни в кой мере претендует на полноту — это лишь необходимый комментарий к нашим задачам. Справочник формируется в соответствии с запросами наших читателей. Если Вас интересует, что означает данный термин, или что утверждает данная теорема, заполните форму, и мы ответим на Ваш вопрос.

Запрос

От кого (e-mail):
Что Вас интересует:

Знаком "*" помечены факты, относящиеся к данному понятию, знаком "-" помечены варианты формулировки определений.

А  Б  В  Г  Д  З  И  К  Л  М  Н  О  П  Р  С  Т  У  Ф  Х  Ц  Ч  Э  

Статьи на букву 'К':

• Касательная
  • к окружности
    
    Приведем два эквивалентных определения касательной к окружности:

    
    —  Касательной к окружности называется прямая, проходящая через точку окружности перпендикулярно к радиусу, проведённому в эту точку. При этом данная точка называется точкой касания.

    
    —  Касательной к окружности называется прямая, имеющая с окружностью единственную общую точку. Эта точка называется точкой касания.

    *  Теорема о равенстве отрезков касательных, проведённых к окружности из одной точки: Если через точку M, лежащую вне окружности, проведены две прямые, касающиеся окружности в точках A и B, то MA = MB. (См. задачу 53959.)

  • общая к двум окружностям
    Прямая называется общей касательной к двум (и более) окружностям, если она является касательной к каждой из даных окружностей. Если центры двух окружностей лежат по одну сторону от их общей касательной, то касательная называется общей внешней касательной окружностей, а если по разные, то — общей внутренней. (См. задачу 53993.)

    *  Если общие внешние (внутренние) касательные к двум окружностям пересекаются, то точка их пересечения лежит на линии центров данных окружностей.

• Катет
  см. "треугольник прямоугольный".

• Квадрат
  Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны. Можно также определить квадрат, как ромб, являющийся одновременно прямоугольником. Квадрат — это правильный четырехугольник.

  *  У квадрата все углы прямые.

  *  Диагонали квадрата равны.

  *  Диагонали квадрата являются биссектрисами его углов.

  *  Из всех четырёхугольников с заданным периметром наибольшую площадь имеет квадрат.

• Коника
  Невырожденные кривые второго порядка (на плоскости это эллипс, парабола и гипербола) имеют общее название — коника. Это название связано с тем, что они являются сечениями конуса плоскостями.

• Координаты
  
  • барицентрические
    Пусть на плоскости задан треугольник A₁A₂A₃. Если точка X является центром масс вершин этого треугольника с массами m₁, m₂ и m₃, то числа (m₁ : m₂ : m₃) называют барицентрическими координатами точки X относительно треугольника A₁A₂A₃. Барицентрические координаты определены не однозначно, а с точностью до пропорциональности.
    • абсолютные барицентрические
      Барицентрические координаты (m₁, m₂, m₃), для которых выполняется условие m₁ + m₂ + m₃ = 1, будем называть абсолютными барицентрическими координатами; они определены уже не с точностью до пропорциональности, а однозначно. (См. задачу 57778.)
    
    (См. задачи 57778,57779.)
  • однородные
    Однородными координатами называют выражения вида (y₀:y₁: ...:y_n), точнее говоря, упорядоченные наборы из n+1 числа, не равных одновременно нулю. При этом два набора, отличающиеся умножением на ненулевое число, считаются равными: (y₀:y₁: ...:y_n)= (cy₀:cy₁: ...:cy_n). Однородные координаты взаимно однозначно соответствуют прямым в n+1-мерном пространстве, проходящим через начало координат, или точкам n-мерного проективного пространства. Каждой точке n-мерного евклидова пространства с обычными координатами (x₁,x₂, ..., x_n) можно сопоставить однородные координаты (1:x₁,x₂, ..., x_n). При этом однородным координатам вида (0:y_1:y_2:...:y_n) будут соответствовать "бесконечно удаленные" точки.
    Однородные координаты очень удобны для записи проективных и бирациональных преобразований проективного пространства и для практических вычислений в проективном пространстве.
  • трилинейные координаты
    Трилинейные координаты тесно связаны с барицентрическими координатами. А именно, если ( : : ) — барицентрические координаты точки X относительно треугольника ABC, то (x : y : z) = : :  — ее трилинейные координаты. Трилинейные координаты, как и барицентрические, определены с точностью до пропорциональности.

    *  Для точки X, лежащей внутри треугольника ABC, в качестве барицентрических координат можно взять площади треугольников (S_BCX : S_CAX : S_ABX). Это означает, что в качестве трилинейных координат можно взять расстояния от точки X до сторон треугольника — абсолютные трилинейные коодинаты. Если точка X лежит вне треугольника, то расстояния до сторон нужно взять с учетом знака. Например, если точки X и A лежат по одну сторону от прямой BC, то x > 0, а если по разные, то x < 0.

    *  В трилинейных координатах изогональное сопряжение задается формулой (x : y : z) (x^-1 : y^-1 : z^-1). В связи с этим трилинейные координаты часто бывают удобны при работе с изогональным сопряжением.

    • абсолютные трилинейные
      см. "трилинейные координаты".

• Круг
  Кругом называется фигура, состоящая из всех точек плоскости, расстояние от которых до данной точки плоскости (центра круга) не больше данной положительной величины (радиуса круга). См. также "окружность".

  Часть круга, лежащая внутри центрального угла с вершиной в центре данного круга, называется круговым сектором. Пересечение круга и полуплоскости (при условии, что это пересечение содержит более одной точки) называется круговым сегментом.

  *  Если S — площадь круга радиуса R, то S = R². Другими словами, площадь круга равна половине произведения длины ограничивающей его окружности на радиус.