Версия для печати
Убрать все задачи

---

F(x) – возрастающая функция, определённая на отрезке  [0, 1].  Известно, что область её значений принадлежит отрезку  [0, 1].  Доказать, что, каково бы ни было натуральное n, график функции можно покрыть N прямоугольниками, стороны которых параллельны осям координат так, что площадь каждого равна ¹/_n². (В прямоугольник мы включаем его внутренние точки и точки его границы.)

   Решение

---

Сумма нескольких положительных чисел равна 10, а сумма квадратов этих чисел больше 20. Докажите, что сумма кубов этих чисел больше 40.

   Решение

---

Чему равны числа Фибоначчи с отрицательными номерами F_-1, F_-2, ..., F_-n,...?

   Решение

---

В связном графе степени четырёх вершин равны 3, а степени остальных вершин равны 4.
Докажите, что нельзя удалить ребро так, чтобы граф распался на две изоморфные компоненты связности.

   Решение

---

Докажите, что точки, симметричные точке пересечения высот треугольника ABC относительно его сторон, лежат на описанной окружности.

   Решение

---

Двое играющих по очереди увеличивают натуральное число так, чтобы при каждом увеличении разность между новым и старым значениями числа была бы больше нуля, но меньше старого значения. Начальное значение числа равно 2. Выигравшим считается тот, в результате хода которого получится 1987. Кто выигрывает при правильной игре: начинающий или его партнёр?

   Решение

---

Некто приобрел пару кроликов и поместил их в огороженный со всех сторон загон. Сколько кроликов будет через год, если считать, что каждый месяц пара дает в качестве приплода новую пару кроликов, которые со второго месяца жизни также начинают приносить приплод?

   Решение

---

а) Есть 128 монет двух различных весов, монет каждого веса поровну. Как на чашечных весах без гирь гарантированно найти две монеты разного веса не более чем за семь взвешиваний?
б) Есть восемь монет двух различных весов, монет каждого веса поровну. Как на чашечных весах без гирь гарантированно найти две монеты разного веса за два взвешивания?

   Решение

---

Внутри треугольника ABC взята такая точка P, что  PAB : PAC = PCA : PCB = PBC : PBA = x. Докажите, что x = 1.

   Решение

---

Cколько существует различных семизначных телефонных номеров (cчитается, что номер начинаться с нуля не может)?

   Решение

---

Пусть O_a, O_b и O_c — центры вневписанных окружностей треугольника ABC. Докажите, что точки A, B и C — основания высот треугольника O_aO_bO_c.

   Решение

---

Сколько существует ожерелий, составленных из 17 различных бусинок?

   Решение

---

На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A₁, B₁ и C₁, причем  AC₁ = AB₁, BA₁ = BC₁ и CA₁ = CB₁. Докажите, что A₁, B₁ и C₁ — точки касания вписанной окружности со сторонами.

   Решение

---

Некоторый алфавит состоит из 6 букв, которые для передачи по телеграфу кодированы так:

При передаче одного слова не сделали промежутков, отделяющих букву от буквы, так что получилась сплошная цепочка из точек и тире, содержащая 12 знаков. Сколькими способами можно прочитать переданное слово?

   Решение

---

Докажите, что в любом графе
  а) сумма степеней всех вершин равна удвоенному числу рёбер (и следовательно, чётна);
  б) число вершин нечётной степени чётно.

   Решение

---

Докажите, что сторона BC треугольника ABC видна из центра O вписанной окружности под углом  90^o + A/2, а из центра O_a вневписанной окружности под углом  90^o - A/2.

   Решение

---

В языке одного древнего племени было 6 гласных и 8 согласных, причём при составлении слов гласные и согласные непременно чередовались. Сколько слов из девяти букв могло быть в этом языке?

   Решение

---

Семнадцать девушек водят хоровод. Сколькими различными способами они могут встать в круг?

   Решение

---

  а) Пусть  {a₁, a₂,..., a_n}  – последовательность целых чисел, сумма которых равна 1. Докажите, что ровно у одного из ее циклических сдвигов
{a₁, a₂, ..., a_n},  {a₂, ..., a_n, a₁},  ...,  {a_n, a₁, ..., a_n–1}  все частичные суммы (от начала до произвольного элемента) положительны.

  б) Выведите отсюда равенства:      где  (4n – 2)!!!! = 2·6·10·...(4n – 2)  – произведение, в котором участвует каждое четвёртое число.
  Определение чисел Каталана C_n смотри в справочнике.

   Решение

---

О том, как прыгают кузнечики. Предположим, что имеется лента, разбитая на клетки и уходящая вправо до бесконечности. На первой клетке этой ленты сидит кузнечик. Из любой клетки кузнечик может перепрыгнуть либо на одну, либо на две клетки вправо. Сколькими способами кузнечик может добраться до n-ой от начала ленты клетки?

   Решение

---

В городе Ленинграде живет более 5 миллионов человек. Докажите, что у каких-то двух из них одинаковое число волос на голове, если известно, что у любого человека на голове менее миллиона волос.

   Решение

---

Некоторые натуральные числа отмечены. Известно, что на каждом отрезке числовой прямой длины 1999 есть отмеченное число.
Докажите, что найдётся пара отмеченных чисел, одно из которых делится на другое.

   Решение

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 118]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109773

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Деление с остатком ] [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Из промежутка  (2²ⁿ, 2³ⁿ)  выбрано  2^2n–1 + 1  нечётное число.
Докажите, что среди выбранных чисел найдутся два, квадрат каждого из которых не делится на другое.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109832

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Тождественные преобразования ] [ Неравенства. Метод интервалов ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Сумма чисел a₁, a₂, a₃, каждое из которых больше единицы, равна S, причём     для любого  i = 1, 2, 3.
Докажите, что  

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109850

Темы:   [ Шахматная раскраска ] [ Ломаные ] [ Ломаные внутри квадрата ] [ Четность и нечетность ] [ Свойства симметрий и осей симметрии ] [ Таблицы и турниры (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9,10

Дана доска 15×15. Некоторые пары центров соседних по стороне клеток соединили отрезками так, что получилась замкнутая несамопересекающаяся ломаная, симметричная относительно одной из диагоналей доски. Докажите, что длина ломаной не больше 200.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109857

Темы:   [ Итерации ] [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Дан квадратный трёхчлен  f(x) = x² + ax + b.  Уравнение  f(f(x)) = 0  имеет четыре различных действительных корня, сумма двух из которых равна  –1. Докажите, что  b ≤ – ¼.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110008

Темы:   [ Перенос помогает решить задачу ] [ Системы точек ] [ Классические неравенства (прочее) ] [ Делимость чисел. Общие свойства ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9,10

Некоторые натуральные числа отмечены. Известно, что на каждом отрезке числовой прямой длины 1999 есть отмеченное число.
Докажите, что найдётся пара отмеченных чисел, одно из которых делится на другое.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 118]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями