Все авторы
>>
Филимонов В.П. 
Фильтр
Выбрано 13 задач Убрать все задачи
В классе 20 школьников. Было устроено несколько экскурсий, в каждой из которых участвовал хотя бы один школьник этого класса.
Докажите, что найдётся такая экскурсия, что каждый из участвовавших в ней школьников принял участие по меньшей мере в 1/20 всех экскурсий.
Заменить разные буквы разными цифрами, одинаковые — одинаковыми, а звёздочки — любыми так, чтобы получился правильный пример.
Разрежьте крест, составленный из пяти одинаковых квадратов, на три многоугольника, равных по площади и периметру.
Фигура на рисунке составлена из квадратов. Найдите сторону левого нижнего, если сторона самого маленького равна 1.
Говорящие весы произносят вес, округлив его до целого числа килограммов (по правилам округления: если дробная часть меньше 0,5, то число округляется вниз, а иначе – вверх; например, 3,5 округляется до 4). Вася утверждает, что, взвешиваясь на этих весах с одинаковыми бутылками, он получил такие ответы весов:
Могло ли такое быть?
В квадрате клетчатой бумаги 10×10 нужно расставить один корабль
1×4, два – 1×3, три – 1×2 и четыре – 1×1. Корабли не должны иметь общих точек (даже вершин) друг с другом, но могут
прилегать к границам квадрата. Докажите, что
а) если расставлять их в указанном выше порядке (начиная с больших), то этот процесс всегда удается довести до конца, даже если в каждый момент заботиться
только об очередном корабле, не думая о будущих;
б) если расставлять их в обратном порядке (начиная с малых), то может
возникнуть ситуация, когда очередной корабль поставить нельзя.
Прямоугольник составлен из шести квадратов (см. правый рисунок). Найдите сторону самого большого квадрата, если сторона самого маленького равна 1.
Алик, Боря и Вася собирали грибы. Боря собрал грибов на 20% больше, чем Алик, но на 20% меньше, чем Вася.
На сколько процентов больше Алика собрал грибов Вася?
Василиса Премудрая решила запереть Кощея в прямом коридоре, разделенном тремя проходами на четыре комнаты, причем в каждом проходе, облокотившись на одну из стен, стоит толстый усталый стражник. Каждый раз, когда Кощей переходит из одной комнаты в другую, стражник переходит к противоположной стене и облокачивается на нее. Если все стражники облокотятся на одну стену, она не выдержит и рухнет, а Кощей выйдет на свободу. Может ли Василиса изначально так прислонить стражников и разместить Кощея, чтобы он никогда не смог выбраться?
В стране Далёкой провинция называется крупной, если в ней живёт более 7% жителей этой страны. Известно, что для каждой крупной провинции найдутся такие две провинции с меньшим населением , что их суммарное население больше, чем у этой крупной провинции. Какое наименьшее число провинций может быть в стране Далёкой?
Дан треугольник ABC, в котором AB > BC. Касательная к его описанной окружности в точке B пересекает прямую AC в точке P. Точка D симметрична точке B относительно точки P, а точка E симметрична точке C относительно прямой BP. Докажите, что четырёхугольник ABED – вписанный.
Внутри выпуклого четырёхугольника ABCD взята такая точка P, что ∠PBA = ∠PCD = 90°. Точка M – середина стороны AD, причём BM = CM.
Докажите, что ∠PAB = ∠PDC.
Дан остроугольный треугольник ABC. Точки M и N – середины сторон AB и BC соответственно, точка H – основание высоты, опущенной из вершины B. Описанные окружности треугольников AHN и CHM пересекаются в точке P (P ≠ H). Докажите, что прямая PH проходит через середину отрезка MN.
Все задачи автора Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]
Задача 65821 |
|
|
На сторонах прямоугольного треугольника ABC построены во внешнюю сторону квадраты с центрами D, E, F.
Докажите, что отношение SDEF : SABC а) больше 1; б) не меньше 2.
|
|
Решение |
Задача 111348 |
|
Через центр O вписанной в треугольник ABC окружности проведена прямая, перпендикулярная прямой AO и пересекающая прямую BC в точке M.
Из точки O на прямую AM опущен перпендикуляр OD. Докажите, что точки A, B, C и D лежат на одной окружности.
|
|
|
Решение |
Задача 115514 |
|
|
Внутри выпуклого четырёхугольника ABCD взята такая точка P, что ∠PBA = ∠PCD = 90°. Точка M – середина стороны AD, причём BM = CM.
Докажите, что ∠PAB = ∠PDC.
|
|
Решение |
Задача 111816 |
|
|
Дан треугольник ABC, в котором AB > BC. Касательная к его описанной окружности в точке B пересекает прямую AC в точке P. Точка D симметрична точке B относительно точки P, а точка E симметрична точке C относительно прямой BP. Докажите, что четырёхугольник ABED – вписанный.
|
|
|
Решение |
Задача 111847 |
|
|
Дан остроугольный треугольник ABC. Точки M и N – середины сторон AB и BC соответственно, точка H – основание высоты, опущенной из вершины B. Описанные окружности треугольников AHN и CHM пересекаются в точке P (P ≠ H). Докажите, что прямая PH проходит через середину отрезка MN.
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]
