Все авторы
>>
Шаповалов А.В. 
Александр Васильевич Шаповалов (род. 1955 г.) - автор книг "Принцип узких мест", "Турнир городов: мир математики в задачах" и других популярных книг по математике. Ответственный редактор серии "Школьные математические кружки". Ведущий преподаватель Кировской ЛМШ и Московских сборов. Член методической комиссии Турнира городов, турнира им. Савина, московского Математического праздника и других соревнований. См. сайт www.ashap.info.
Фильтр
Выбрано 15 задач Убрать все задачи
Когда из бассейна сливают воду, уровень h воды в нём
меняется в зависимости от времени t по закону
а в момент t0 окончания слива выполнены равенства h(t0)=h'(t0)=0 . За сколько часов вода из бассейна сливается полностью, если за первый час уровень воды в нём уменьшается вдвое?
В остроугольном треугольнике KLN высоты пересекаются в точке H, а медианы — в точке O. Биссектриса угла K пересекает отрезок OH в такой точке M, что OM : MH = 3 : 1. Найдите площадь треугольника KLN, если LN = 4, а разность углов L и N равна 30o.
Доказать, что выражение
равно 2, если 1<= a <= 2 , и равно 2
Из имеющихся последовательностей {bn} и {cn} (возможно, {bn} совпадает с {cn}) разрешается получать последовательности
{bn + cn},
{bn – cn}, {bncn} и {bn/cn} (если все члены последовательности {cn} отличны от 0). Кроме того, из любой имеющейся последовательности можно получить новую, вычеркнув несколько начальных членов. Сначала есть только последовательность {an}. Можно ли получить из неё описанными выше операциями последовательность {n}, то есть 1, 2, 3, 4, ..., если
а) an = n²;
б)
в)
Существуют ли такие значения a и b, при которых уравнение х4 – 4х3 + 6х² + aх + b = 0 имеет четыре различных действительных корня?
Докажите, что отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания противоположных сторон с соответствующими вневписанными окружностями, пересекаются в одной точке {(точка Нагеля))
Петя тратит ⅓ своего времени на игру в футбол, ⅕ – на учебу в школе, ⅙ – на просмотр кинофильмов, 1/70 – на решение олимпиадных задач и ⅓ – на сон. Можно ли так жить?
Докажите, что на графике функции y = x³ можно отметить такую точку A, а на графике функции y = x³ + |x| + 1 – такую точку B, что расстояние AB не превышает 1/100.
Для натурального n обозначим Sn = 1! + 2! + ... + n!. Докажите, что при некотором n у числа Sn есть простой делитель, больший 102012.
В остроугольном треугольнике ABC высоты пересекаются в точке H, а медианы — в точке O. Биссектриса угла A проходит через середину отрезка OH. Найдите площадь треугольника ABC, если BC = 2, а разность углов B и C равна 30o.
Многочлен P(x) с действительными коэффициентами таков, что уравнение P(m) + P(n) = 0 имеет бесконечно много решений в целых числах m и n.
Докажите, что у графика y = P(x) есть центр симметрии.
Найдите все такие функции f(x), что f(2x + 1) = 4x² + 14x + 7.
В каждую клетку квадратной таблицы размера (2n – 1)×(2n – 1) ставится одно из чисел 1 или – 1. Расстановку чисел назовём удачной, если каждое число равно произведению всех соседних с ним (соседними считаются числа, стоящие в клетках с общей стороной). Найдите число удачных расстановок.
В распоряжении юного паркетчика имеется 10 одинаковых плиток, каждая из которых состоит из 4 квадратов и имеет форму буквы Г (все плитки ориентированы одинаково). Может ли он составить из них прямоугольник размером 5×8? (Плитки можно поворачивать, но нельзя переворачивать. Например, на рисунке изображено неверное решение: заштрихованная плитка неправильно ориентирована.)
На большой шахматной доске отметили 2n клеток так, что ладья может ходить по всем отмеченным клеткам, не перепрыгивая через неотмеченные.
Докажите, что фигуру из отмеченных клеток можно разрезать на n прямоугольников.
Все задачи автора Страница: << 49 50 51 52 53 54 55 >> [Всего задач: 320]
Задача 98464 |
|
|
а) 100 гирек веса 1, 2, ..., 100 г разложили на две чаши весов так, что есть равновесие.
Докажите, что можно убрать по две гирьки с каждой чаши так, что равновесие не нарушится.
б) Рассмотрим такие n, что набор гирь 1, 2, ... , n г можно
разделить на две части, равные по весу.
Верно ли, что для любого такого n, большего 3, можно убрать по две гирьки из каждой части так, что равенство весов сохранится?
|
|
Решение |
Задача 98465 |
|
На большой шахматной доске отметили 2n клеток так, что ладья может ходить по всем отмеченным клеткам, не перепрыгивая через неотмеченные.
Докажите, что фигуру из отмеченных клеток можно разрезать на n прямоугольников.
|
|
Решение |
Задача 98478 |
|
|
Разбойники Хапок и Глазок делят кучу из 100 монет. Хапок захватывает из кучи пригоршню монет, а Глазок, глядя на пригоршню, решает, кому из двоих она достается. Так продолжается, пока кто-то из них не получит девять пригоршней, после чего другой забирает все оставшиеся монеты (дележ может закончиться и тем, что монеты будут разделены прежде, чем кто-то получит девять пригоршней). Хапок может захватить в пригоршню сколько угодно монет. Какое наибольшее число монет он может гарантировать себе независимо от действий Глазка?
|
|
|
Решение |
Задача 98506 |
|
|
Клетки доски m×n покрашены в два цвета. Известно, что на какую бы клетку ни поставить ладью, она будет бить больше клеток не того цвета, на котором стоит (клетка под ладьей тоже считается побитой). Докажите, что на каждой вертикали и каждой горизонтали клеток обоих цветов поровну.
|
|
|
Решение |
Задача 98522 |
|
|
а) На две клетки шахматной доски выставляются чёрная и белая фишки. Разрешается по очереди передвигать их, каждым ходом сдвигая очередную фишку на любое свободное соседнее поле по вертикали или горизонтали. Могут ли на доске в результате таких ходов встретиться все возможные позиции расположения этих двух фишек, причём ровно по одному разу?
б) А если разрешается сдвигать фишки в любом порядке (не обязательно по очереди)?
|
|
|
Решение |
Страница: << 49 50 51 52 53 54 55 >> [Всего задач: 320]
