Все авторы
>>
Пастор А. 
Фильтр
Выбрано 7 задач Убрать все задачи
Докажите, что любой треугольник можно разрезать на 2019 четырёхугольников, каждый из которых одновременно вписанный и описанный.
В треугольнике $ABC$ точка $M$ – середина стороны $BC$, точка $E$ лежит внутри стороны $AC$, $BE \geqslant 2AM$. Докажите, что треугольник $ABC$ тупоугольный.
В клетках доски n×n произвольно расставлены числа от 1 до n². Докажите, что найдутся две такие соседние клетки (имеющие общую вершину или общую сторону), что стоящие в них числа отличаются не меньше чем на n + 1.
Рассматривается выпуклый восьмиугольник. С помощью диагонали от него можно
отрезать четырёхугольник, причём это можно сделать восемью способами. Может ли случиться, что среди этих восьми четырёхугольников имеется
а) четыре,
б) пять
таких, в которые можно вписать окружность?
Пусть P и Q – середины сторон AB и CD четырёхугольника ABCD, M и N – середины диагоналей AC и BD.
Докажите, что если MN и PQ перпендикулярны, то BC = AD.
Два треугольника A1B1C1 и A2B2C2, площади которых равны соответственно S1 и S2, расположены так, что лучи A1B1 и A2B2, B1C1 и B2C2, C1A1 и C2A2 противоположно направлены. Найдите площадь треугольника с вершинами в серединах отрезков A1A2, B1B2, C1C2.
Внутри вписанного четырёхугольника ABCD отмечены такие точки P и Q, что ∠PDC + ∠PCB = ∠PAB + ∠PBC = ∠QCD + ∠QDA = ∠QBA + ∠QAD = 90°.
Докажите, что прямая PQ образует равные углы с прямыми AD и BC.
Все задачи автора Страница: 1 [Всего задач: 5]
Задача 108888 |
|
Окружность, построенная на стороне AC остроугольного треугольника ABC как на диаметре, пересекает стороны AB и BC в точках K и L. Касательные к этой окружности, проведённые в точках K и L, пересекаются в точке M. Докажите, что прямая BM перпендикулярна AC.
|
|
Решение |
Задача 64354 |
|
Внутри вписанного четырёхугольника ABCD отмечены такие точки P и Q, что ∠PDC + ∠PCB = ∠PAB + ∠PBC = ∠QCD + ∠QDA = ∠QBA + ∠QAD = 90°.
Докажите, что прямая PQ образует равные углы с прямыми AD и BC.
|
|
Решение |
Задача 109755 |
|
|
В городе несколько площадей. Некоторые пары площадей соединены улицами с односторонним движением так, что с каждой площади можно выехать ровно по двум улицам. Докажите, что город можно разделить на 1014 районов так, чтобы улицами соединялись только площади из разных районов, и для каждых двух районов все соединяющие их улицы были направлены одинаково (либо все из первого района во второй, либо наоборот).
|
|
|
Решение |
Задача 109762 |
|
|
В некотором государстве было 2002 города, соединённых дорогами так, что если запретить проезд через любой из городов, то из каждого из оставшихся городов можно добраться до любого другого. Каждый год король выбирает некоторый несамопересекающийся циклический маршрут и приказывает построить новый город, соединить его дорогами со всеми городами выбранного маршрута, а все дороги этого маршрута закрыть за ненадобностью. Через несколько лет в стране не осталось ни одного несамопересекающегося циклического маршрута, проходящего по ее городам. Докажите, что в этот момент количество городов, из которых выходит ровно одна дорога, не меньше 2002.
|
|
|
Решение |
Задача 110200 |
|
|
В некотором государстве было 2004 города, соединённых дорогами так, что из каждого города можно было добраться до любого другого. Известно, что при запрещённом проезде по любой из дорог по-прежнему из каждого города можно
было добраться до любого другого. Министр транспорта и министр внутренних
дел по очереди вводят на дорогах, пока есть возможность, одностороннее
движение (на одной дороге за ход), причём министр, после хода которого из
какого-либо города стало невозможно добраться до какого-либо другого,
немедленно уходит в отставку. Первым ходит министр транспорта.
Может ли кто-либо из министров добиться отставки другого независимо от его игры?
|
|
|
Решение |
Страница: 1 [Всего задач: 5]
