Володя бежит по круговой дистанции с постоянной скоростью. В двух точках дистанции стоит по фотографу. После старта Володя 2 минуты был ближе к первому фотографу, затем 3 минуты – ближе ко второму фотографу, а потом снова ближе к первому. За какое время Володя пробежал весь круг?

   Решение

Точка H – ортоцентр треугольника ABC. Касательные, проведённые к описанным окружностям треугольников CHB и AHB в точке H, пересекают прямую AC в точках A₁ и C₁ соответственно. Докажите, что  A₁H = C₁H.

   Решение

Треугольники ABC₁ и ABC₂ имеют общее основание AB и  AC₁B = AC₂B. Докажите, что если | AC₁ - C₁B| < | AC₂ - C₂B|, то:
а) площадь треугольника ABC₁ больше площади треугольника ABC₂;
б) периметр треугольника ABC₁ больше периметра треугольника ABC₂.

   Решение

Дан квадрат со стороной 1. От него отсекают четыре уголка — четыре треугольника, у каждого из которых две стороны идут по сторонам квадрата и составляют 1/3 их длины. С полученным 8-угольником делают то же самое: от каждой вершины отрезают треугольник, две стороны которого составляют по 1/3 соответствующих сторон 8-угольника, и так далее. Получается последовательность многоугольников (каждый содержится в предыдущем). Найдите площадь фигуры, являющейся пересечением всех этих многоугольников (то есть образованной точками, принадлежащими всем многоугольникам).

   Решение

В остроугольном треугольнике ABC провели высоты AA₁ и BB₁, которые пересекаются в точке O. Затем провели высоту A₁A₂ треугольника OBA₁ и высоту B₁B₂ треугольника OAB₁. Докажите, что отрезок A₂B₂ параллелен стороне AB.

   Решение

Через вершины A, B, C треугольника ABC проведены три параллельные прямые, пересекающие вторично его описанную окружность в точках A₁, B₁, C₁ соответственно. Точки A₂, B₂, C₂ симметричны точкам A₁, B₁, C₁ относительно сторон BC, CA, AB соответственно. Докажите, что прямые AA₂, BB₂, CC₂ пересекаются в одной точке.

   Решение

При каких  n > 3  правильный n-угольник можно разрезать диагоналями (возможно, пересекающимися внутри него) на равные треугольники?

   Решение

Почтальон Печкин не хотел отдавать посылку. Тогда Матроскин предложил ему сыграть в следующую игру: каждым ходом Печкин пишет в строку слева направо буквы, произвольно чередуя М и П, пока в строке не будет всего 11 букв. Матроскин после каждого его хода, если хочет, меняет местами любые две буквы. Если в итоге окажется, что записанное слово является палиндромом (то есть одинаково читается слева направо и справо налево), то Печкин отдаёт посылку. Сможет ли Матроскин играть так, чтобы обязательно получить посылку?

   Решение

В четырёхугольнике ABCD стороны AD и BC параллельны.
Докажите, что если биссектрисы углов DAC, DBC, ACB и ADB образовали ромб, то  AB = CD.

   Решение

Цифры натурального числа  $n$ > 1  записали в обратном порядке и результат умножили на $n$. Могло ли получиться число, записываемое только единицами?

   Решение

Незнайка решал уравнение, в левой части которого стоял многочлен третьей степени с целыми коэффициентами, а в правой – 0. Он нашёл корень ¹/₇. Знайка, заглянув к нему в тетрадь, увидел только первые два слагаемых многочлена:  19x³ + 98x²  и сразу сказал, что ответ неверен. Обоснуйте ответ Знайки.

   Решение

ABC – равнобедренный прямоугольный треугольник. На продолжении гипотенузы AB за точку A взята точка D так, что  AB = 2AD. Точки M и N на стороне AC таковы, что  AM = NC.  На продолжении стороны CB за точку B взята такая точка K, что  CN = BK.  Найдите угол между прямыми NK и DM.

   Решение

а) Даны две точки A, B и прямая l. Постройте окружность, проходящую через точки A, B и касающуюся прямой l.
б) Даны две точки A и B и окружность S. Постройте окружность, проходящую через точки A и B и касающуюся окружности S.

   Решение

Петя выбрал несколько последовательных натуральных чисел и каждое записал либо красным, либо синим карандашом (оба цвета присутствуют).
Может ли сумма наименьшего общего кратного всех красных чисел и наименьшего общего кратного всех синих чисел являться степенью двойки?

   Решение

В треугольнике ABC провели биссектрису CL. В треугольники CAL и CBL вписали окружности, которые касаются прямой AB в точках M и N соответственно. Затем все, кроме точек A, L, M и N, стерли. С помощью циркуля и линейки восстановите треугольник.

   Решение

Докажите, что из шести ребер тетраэдра можно сложить два треугольника.

   Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 87]      

Грани выпуклого многогранника – подобные треугольники.
Докажите, что многогранник имеет две пары равных граней (одну пару равных граней и еще одну пару равных граней).

Прислать комментарий

Решение

На стороне AB треугольника ABC взята такая точка P, что  AP = 2PB,  а на стороне AC – ее середина, точка Q. Известно, что  CP = 2PQ.
Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.

Прислать комментарий

Решение

Из каждой вершины выпуклого многогранника выходят ровно три ребра, причём хотя бы два из этих трёх рёбер равны.
Докажите, что многогранник имеет хотя бы три равных ребра.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что из шести ребер тетраэдра можно сложить два треугольника.

Прислать комментарий

Решение

Существует ли в пространстве куб, расстояния от вершин которого до данной плоскости равны 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 87]