Все авторы
>>
Садыков Р. 
Фильтр
Выбрано 14 задач Убрать все задачи
Опишите все способы покрасить каждое натуральное число в один из трёх цветов так, чтобы выполнялось условие: если числа a, b и c (не обязательно различные) удовлетворяют условию 2000(a + b) = c, то они либо все одного цвета, либо трёх разных цветов.
Точечный прожектор, находящийся в вершине B равностороннего треугольника ABC, освещает угол α. Найдите все такие значения α, не превосходящие 60°, что при любом положении прожектора, когда освещенный угол целиком находится внутри угла ABC, из освещенного и двух неосвещенных отрезков стороны AC можно составить треугольник.
Какое наибольшее число фишек можно поставить на клетки шахматной доски так, чтобы на каждой горизонтали, вертикали и диагонали (не только на главных) находилось чётное число фишек?
Длины сторон треугольника – простые числа. Докажите, что его площадь не может быть целым числом.
Найдите все такие пары квадратных трёхчленов x² + ax + b, x² + cx + d, что a и b – корни второго трёхчлена, c и d – корни первого.
Докажите, что для любых положительных чисел x и y справедливо
неравенство
Клетки квадрата 9×9 окрашены в красный и белый цвета. Докажите, что найдётся или клетка, у которой ровно два красных соседа по углу, или клетка, у которой ровно два белых соседа по углу (или и то, и другое).
Про три положительных числа известно, что если выбрать одно из них и прибавить к нему сумму квадратов двух других, то получится одна и та же сумма, независимо от выбранного числа. Верно ли, что все числа равны?
Найдите все такие натуральные числа n, что для любых двух его взаимно простых делителей a и b число a + b – 1 также является делителем n.
Найдите все такие числа a, что для любого натурального n число an(n + 2)(n + 4) будет целым.
Две окружности S1 и S2 касаются внешним образом в точке F. Их общая касательная касается S1 и S2 в точках A и B соответственно. Прямая, параллельная AB, касается окружности S2 в точке C и пересекает окружность S1 в точках D и E. Докажите, что общая хорда описанных окружностей треугольников ABC и BDE, проходит через точку F.
Квадрат n×n ( n 3 ) склеен
в цилиндр. Часть клеток покрашена в черный цвет. Докажите, что
найдутся две параллельных линии (две горизонтали, две вертикали или
две диагонали), содержащие одинаковое количество черных клеток.
Найдите x1000, если x1 = 4, x2 = 6, и при любом натуральном n ≥ 3 xn – наименьшее составное число, большее 2xn–1 – xn–2.
На координатной плоскости расположены четыре фишки, центры которых имеют целочисленные координаты. Разрешается сдвинуть любую фишку на вектор, соединяющий центры любых двух из остальных фишек. Докажите, что несколькими такими перемещениями можно совместить любые две наперед заданные фишки.
Все задачи автора Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]
Задача 110005 |
|
|
Существуют ли 10 таких различных целых чисел, что все суммы, составленные из девяти из них – точные квадраты?
|
|
Решение |
Задача 64631 |
|
|
Треугольник ABC вписан в окружность Ω с центром O. Окружность Ω1, построенная на AO как на диаметре, пересекает описанную окружность Ω2 треугольника OBC в точке S, отличной от O. Касательные к Ω в точках B и C пересекаются в точке P. Докажите, что точки A, S и P лежат на одной прямой.
|
|
|
Решение |
Задача 64871 |
|
|
Дан прямоугольник ABCD. Через точку B провели две перпендикулярные прямые. Первая прямая пересекает сторону AD в точке K, а вторая продолжение стороны CD в точке L. Пусть F – точка пересечения KL и AC. Докажите, что BF ⊥ KL.
|
|
|
Решение |
Задача 110168 |
|
|
В ячейки куба 11×11×11 поставлены по одному числа 1, 2, ..., 1331. Из одного углового кубика в противоположный угловой отправляются два червяка. Каждый из них может проползать в соседний по грани кубик, при этом первый может проползать, если число в соседнем кубике отличается на 8, второй – если отличается на 9. Существует ли такая расстановка чисел, что оба червяка смогут добраться до противоположного углового кубика?
|
|
|
Решение |
Задача 109624 |
|
|
На координатной плоскости расположены четыре фишки, центры которых имеют целочисленные координаты. Разрешается сдвинуть любую фишку на вектор, соединяющий центры любых двух из остальных фишек. Докажите, что несколькими такими перемещениями можно совместить любые две наперед заданные фишки.
|
|
Решение |
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]
