Версия для печати
Убрать все задачи

---

Играют двое. У первого 1000 чётных карточек (2, 4, ..., 2000), у второго – 1001 нечётная (1, 3, ... , 2001). Ходят по очереди, начинает первый. Ход состоит в следующем: игрок, чья очередь ходить, выкладывает одну из своих карточек, а другой, посмотрев на неё, выкладывает одну из своих карточек; тот, у кого число на карточке больше, записывает себе одно очко, а обе выложенные карточки выбрасываются. Всего получается 1000 ходов (одна карточка второго не используется). Какое наибольшее число очков может гарантировать себе каждый из игроков (как бы ни играл его соперник)?

   Решение

---

Многочлен P(x) с действительными коэффициентами таков, что уравнение  P(m) + P(n) = 0  имеет бесконечно много решений в целых числах m и n.
Докажите, что у графика  y = P(x)  есть центр симметрии.

   Решение

Страница: << 222 223 224 225 226 227 228 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 98231

Темы:   [ Классические неравенства (прочее) ] [ Задачи на проценты и отношения ] [ Средние величины ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

В ящиках лежат орехи. Известно, что в среднем в каждом ящике 10 орехов, а среднее арифметическое квадратов чисел орехов в ящиках меньше 1000. Докажите, что по крайней мере 10% ящиков не пустые.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98235

Темы:   [ Периодичность и непериодичность ] [ Деление с остатком ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Периоды двух последовательностей – 7 и 13. Какова максимальная длина начального куска, который может у них совпадать?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98236

Темы:   [ Уравнения в целых числах ] [ Разложение на множители ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Сумма шестых степеней шести целых чисел на единицу больше, чем их ушестерённое произведение.
Докажите, что одно из чисел равно единице или минус единице, а остальные – нули.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98245

Темы:   [ Неравенство Коши ] [ Тождественные преобразования ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Докажите, что для любых положительных чисел а₁, ..., a_n справедливо неравенство

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98246

Темы:   [ Периодичность и непериодичность ] [ Деление с остатком ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Алгоритм Евклида ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Периоды двух последовательностей – m и n – взаимно простые числа. Какова максимальная длина начального куска, который может у них совпадать?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 222 223 224 225 226 227 228 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями