Версия для печати
Убрать все задачи

---

Петя написал на гранях кубика натуральные числа от 1 до 6. Вася кубика не видел, но утверждает, что

а) у этого кубика есть две соседние грани, на которых написаны соседние числа;

б) таких пар соседних граней у кубика не меньше двух.

Прав ли он в обоих случаях? Почему?

   Решение

---

Пусть a и b — длины катетов прямоугольного треугольника, c — длина его гипотенузы. Докажите, что:

а) радиус вписанной окружности треугольника равен (a + b - c)/2;

б) радиус окружности, касающейся гипотенузы и продолжений катетов, равен (a + b + c)/2.

   Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 66962  (#8.2)

Темы:   [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Через вершины треугольника $ABC$ проведены параллельные прямые $l_a$, $l_b$, $l_c$. Пусть прямая $a$ симметрична высоте $AH_a$ относительно $l_a$. Аналогично определяем $b$, $c$. Докажите, что $a$, $b$, $c$ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66963  (#8.3)

Темы:   [ ГМТ (прочее) ] [ Задачи на движение ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Вписанный угол равен половине центрального ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Участники тараканьих бегов бегут по окружности в одном направлении, стартовав одновременно из точки $S$. Таракан $A$ бежит вдвое медленнее, чем $B$, и втрое медленнее, чем $C$. Точки $X$, $Y$ на отрезке $SC$ таковы, что $SX=XY=YC$. Прямые $AX$ и $BY$ пересекаются в точке $Z$. Найдите ГМТ пересечения медиан треугольника $ZAB$.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66964  (#8.4)

Темы:   [ Свойства серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

В остроугольном треугольнике $ABC$ высоты $AH$ и $CH$ пересекают стороны $BC$ и $AB$ в точках $A_1$ и $C_1$. Точки $A_2$ и $C_2$ симметричны относительно $AC$ точкам $A_1$ и $C_1$. Докажите, что расстояние между центрами описанных окружностей треугольников $C_2HA_1$ и $C_1HA_2$ равно $AC$.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66966  (#8.5)

Темы:   [ Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Пусть $A_1$, $A_2$, $A_3$, $A_4$ и $B_1$, $B_2$, $B_3$, $B_4$ – две четверки точек, не лежащих на одной окружности. Известно, что для любых $i$, $j$, $k$ радиусы описанных окружностей треугольников $A_iA_jA_k$ и $B_iB_jB_k$ равны. Обязательно ли $A_iA_j=B_iB_j$ для любых $i$, $j$?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66965  (#8.6)

Темы:   [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Дан остроугольный треугольник $ABC$. Точка $P$ выбрана так, что $AP=AB$ и $PB \parallel AC$. Точка $Q$ выбрана так, что $AQ=AC$ и $CQ \parallel AB$. Отрезки $CP$ и $BQ$ пересекаются в точке $X$. Докажите, что центр описанной окружности треугольника $ABC$ лежит на окружности $(PXQ)$.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями