Версия для печати
Убрать все задачи

---

Прямой угол разбит на бесконечное число квадратных клеток со стороной единица. Будем рассматривать ряды клеток, параллельные сторонам угла (вертикальные и горизонтальные ряды). Можно ли в каждую клетку записать натуральное число так, чтобы каждый вертикальный и каждый горизонтальный ряд клеток содержал все натуральные числа по одному разу?

   Решение

Страница: << 245 246 247 248 249 250 251 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 116035

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Задачи на движение ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Полицейский участок расположен на прямой дороге, бесконечной в обе стороны. Некто угнал старую полицейскую машину, максимальная скорость которой составляет 90% от максимальной скорости новой машины. В некоторый момент в участке спохватились и послали вдогонку полицейского на новой полицейской машине. Однако вот беда: полицейский не знал, ни когда машина была угнана, ни в каком направлении вдоль дороги уехал угонщик. Сможет ли полицейский поймать угонщика?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116036

Темы:   [ Шахматная раскраска ] [ Четность и нечетность ] [ Неравенство Коши ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Квадратная доска разделена на n² прямоугольных клеток  n – 1  горизонтальными и  n – 1  вертикальными прямыми. Клетки раскрашены в шахматном порядке. Известно, что на одной диагонали все n клеток чёрные и квадратные. Докажите, что общая площадь всех чёрных клеток доски не меньше общей площади белых.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116047

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Индукция (прочее) ] [ Теория графов (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

В некой стране 100 городов (города считайте точками на плоскости). В справочнике для каждой пары городов имеется запись, каково расстояние между ними (всего 4950 записей).

  а) Одна запись стёрлась. Всегда ли можно однозначно восстановить её по остальным?

  б) Пусть стёрлись k записей, и известно, что в этой стране никакие три города не лежат на одной прямой. При каком наибольшем k всегда можно однозначно восстановить стёршиеся записи?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116050

Темы:   [ Теория игр (прочее) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Два мага сражаются друг с другом. Вначале они оба парят над морем на высоте 100 метров. Маги по очереди применяют заклинания вида "уменьшить высоту парения над морем на a метров у себя и на b метров у соперника", где a, b – действительные числа,  0 < a < b.  Набор заклинаний у магов один и тот же, их можно использовать в любом порядке и неоднократно. Маг выигрывает дуэль, если после чьего-либо хода его высота над морем будет положительна, а у соперника – нет. Существует ли такой набор заклинаний, что второй маг может гарантированно выиграть (как бы ни действовал первый), если при этом число заклинаний в наборе
  а) конечно;  б) бесконечно?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116242

Темы:   [ Комбинаторика (прочее) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Принцип Дирихле ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

На новом сайте зарегистрировалось 2000 человек. Каждый пригласил к себе в друзья по 1000 человек. Два человека объявляются друзьями тогда и только тогда, когда каждый из них пригласил другого в друзья. Какое наименьшее количество пар друзей могло образоваться?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 245 246 247 248 249 250 251 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями