ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Подисточники:
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Версия для печати
Убрать все задачи Найдите периметр треугольника ABC, если известны координаты его вершин A(–3, 5), B(3, –3) и точки M(6, 1), являющейся серединой стороны BC. Найдите периметр треугольника KLM, если известны координаты его вершин K(–4, –3), L(2, 5) и точки P(5, 1), являющейся серединой стороны LM. Миша загадал число не меньше 1 и не больше 1000. Васе разрешено задавать только такие вопросы, на которые Миша может ответить «да» или «нет» (Миша всегда говорит правду). Может ли Вася за 10 вопросов определить загаданное число? На отрезке [0, N] отмечены его концы и еще две точки так, что длины отрезков, на которые разбился отрезок [0, N], целые и взаимно просты в совокупности. Если нашлись такие две отмеченные точки A и B, что расстояние между ними кратно 3, то можно разделить отрезок AB на три равных части, отметить одну из точек деления и стереть одну из точек A, B. Верно ли, что за несколько таких действий можно отметить любую наперед заданную целую точку отрезка [0, N]? Можно ли в клетках таблицы 2002×2002 расставить натуральные числа от 1 до 2002² так, чтобы для каждой клетки этой таблицы из строки или из столбца, содержащих эту клетку, можно было бы выбрать тройку чисел, одно из которых равно произведению двух других? На плоскости отмечено 6 красных, 6 синих и 6 зеленых точек, причем никакие три из отмеченных точек не лежат на одной прямой. Докажите, что сумма площадей треугольников с вершинами одного цвета составляет не более четверти суммы площадей всех треугольников с отмеченными вершинами. Дан выпуклый четырёхугольник ABCD , и проведены биссектрисы lA , lB , lC , lD внешних углов этого четырёхугольника. Прямые lA и lB пересекаются в точке K , прямые lB и lC – в точке L , прямые lC и lD – в точке M , прямые lD и lA – в точке N . Докажите, что если окружности, описанные около треугольников ABK и CDM , касаются внешним образом, то и окружности, описанные около треугольников BCL и DAN , касаются внешним образом. На одной стороне угла с вершиной O взята точка A, а на другой – точки B и C, причём точка B лежит между O и C. Проведена окружность с центром O1, вписанная в треугольник OAB, и окружность с центром O2, касающаяся стороны AC и продолжений сторон OA и OC треугольника AOC. Докажите, что если O1A = O2A, то треугольник ABC равнобедренный.
В угол вписаны две окружности; одна из них касается сторон угла в точках K1 и K2, а другая — в точках L1 и L2. Докажите, что прямая K1L2 высекает на этих двух окружностях равные хорды.
Замостите плоскость одинаковыми пятиугольниками.
Найти такие числа A,B,C,a,b,c , чтобы имело место тождество
Решите ребус 250*ЛЕТ+МГУ=2005*ГОД. (Разными буквами обозначены разные цифры, а одинаковыми - одинаковые; при этом некоторыми буквами могут быть обозначены уже имеющиеся цифры 2, 5 и 0.)
Докажите, что медиана разбивает треугольник на два равновеликих треугольника.
Ладья стоит на левом поле клетчатой полоски 1×30 и за ход может сдвинуться на любое количество клеток вправо. Игра начинается с числа 2. За ход разрешается прибавить к имеющемуся числу любое натуральное число, меньшее его. Выигрывает тот, кто получит 1000.
Предпоследняя цифра квадрата натурального числа – нечётная. Докажите, что его последняя цифра – 6. |
Страница: << 17 18 19 20 21 22 23 >> [Всего задач: 132]
На катетах и гипотенузе прямоугольного треугольника построены квадраты, расположенные вне треугольника. Вычислить площадь шестиугольника, вершины которого совпадают с теми вершинами квадратов, которые не принадлежат данному треугольнику. Длина гипотенузы c и сумма длин катетов s известны.
На плоскости даны точки A и B . Доказать, что множество всех точек M , удалённых от A в 3 раза больше, чем от B , есть окружность.
Диагонали четырёхугольника равны по a , а сумма его средних линий b (средние линии соединяют середины противоположных сторон). Вычислить площадь четырёхугольника.
Даны три точки A,B,C . Где на прямой AC нужно выбрать точку M , чтобы сумма радиусов окружностей, описанных около треугольников ABM и CBM , была наименьшей?
MA и MB – касательные к окружности O,; C – точка внутри окружности, лежащая на дуге AB с центром в точке M . Доказать, что отличные от A и B точки пересечения прямых AC и BC с окружностью O лежат на противоположных концах одного диаметра.
Страница: << 17 18 19 20 21 22 23 >> [Всего задач: 132]
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |
Проект осуществляется при поддержке