Версия для печати
Убрать все задачи

---

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность ω с центром в точке $O$. Описанная окружность Ω треугольника $AOC$ пересекает вторично прямые $AB, BC, CD$ и $DA$ в точках $M, N, K$ и $L$ соответственно. Докажите, что прямые $MN, KL$ и касательные, проведённые к ω в точках $A$ и $C$, касаются одной окружности.

   Решение

---

На сторонах треугольника ABC вовне построены квадраты ABB₁A₂, BCC₁B₂ и CAA₁C₂. На отрезках A₁A₂ и B₁B₂ также во внешнюю сторону от треугольников AA₁A₂ и BB₁B₂ построены квадраты A₁A₂A₃A₄ и B₁B₂B₃B₄. Докажите, что  A₃B₄ || AB.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109997  (#99.4.11.1)

Темы:   [ Непрерывные функции (общие свойства) ] [ Характеристические свойства и рекуррентные соотношения ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

О функции f(x) , заданной на всей действительной прямой, известно, что при любом a>1 функция f(x)+f(ax) непрерывна на всей прямой. Докажите, что f(x) также непрерывна на всей прямой.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110011  (#99.4.11.2)

Темы:   [ Неравенства. Метод интервалов ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Произведение положительных чисел x, y и z равно 1.
Докажите, что если  ¹/_x + ¹/_y + ¹/_z ≥ x + y + z,  то для любого натурального k выполнено неравенство  x^–k + y^–k + z^–k ≥ x^k + y^k + z^k.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109998  (#99.4.11.3)

Темы:   [ Индукция (прочее) ] [ Математическая логика (прочее) ] [ Объединение, пересечение и разность множеств ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9,10,11

В классе каждый болтун дружит хотя бы с одним молчуном. При этом болтун молчит, если в кабинете находится нечетное число его друзей – молчунов. Докажите, что учитель может пригласить на факультатив не менее половины класса так, чтобы все болтуны молчали.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109999  (#99.4.11.4)

Темы:   [ Описанные многогранники ] [ Ортогональная проекция (прочее) ] [ Векторы помогают решить задачу ] [ Скалярное произведение ] [ Площадь сферы и ее частей ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

Многогранник описан около сферы. Назовем его грань большой, если проекция сферы на плоскость грани целиком попадает в грань. Докажите, что больших граней не больше 6.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110000  (#99.4.11.5)

Темы:   [ Неравенства с модулями ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9,10

Существуют ли действительные числа a , b и c такие, что при всех действительных x и y выполняется неравенство

|x+a|+|x+y+b|+|y+c|>|x|+|x+y|+|y|?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями