Версия для печати
Убрать все задачи

---

В неравнобедренном треугольнике $ABC$ точки $A_0$, $B_0$, $C_0$ – середины сторон $BC$, $CA$, $AB$ соответственно. Биссектриса угла $C$ пересекает прямые $A_0C_0$ и $B_0C_0$ в точках $B_1$ и $A_1$. Докажите, что прямые $AB_1$, $BA_1$ и $A_0B_0$ пересекаются в одной точке.

   Решение

---

Дан описанный четырёхугольник ABCD, P, Q и R – основания перпендикуляров, опущенных из вершины D на прямые BC, CA, AB соответственно. Докажите, что биссектрисы углов ABC, ADC и диагональ AC пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда  |PQ| = |QR|.

   Решение

---

Из произвольной точки M внутри равностороннего треугольника опущены перпендикуляры MK₁, MK₂, MK₃ на его стороны. Докажите, что

где O — центр треугольника.

   Решение

Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 25]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 111327  (#1)

Темы:   [ Десятичная система счисления ] [ Выделение полного квадрата. Суммы квадратов ]

Сложность: 3- Классы: 7,8,9

Верно ли, что к любому числу, равному произведению двух последовательных натуральных чисел, можно приписать в конце какие-то две цифры так, что получится квадрат натурального числа?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111333  (#1)

Темы:   [ Средние величины ] [ Турниры и турнирные таблицы ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3- Классы: 8,9

Две команды КВН участвуют в игре из четырёх конкурсов. За каждый конкурс каждый из шести судей выставляет оценку – целое число от 1 до 5; компьютер находит среднее арифметическое оценок за конкурс и округляет его с точностью до десятых. Победитель определяется по сумме четырёх полученных компьютером значений. Может ли оказаться, что сумма всех оценок, выставленных судьями, у проигравшей команды больше, чем у выигравшей?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111339  (#1)

Темы:   [ Правильные многоугольники ] [ Шестиугольники ] [ Арифметика. Устный счет и т.п. ]

Сложность: 3 Классы: 6,8,9,10

Аудитория имеет форму правильного шестиугольника со стороной 3 м. В каждом углу установлен храпометр, определяющий число спящих студентов на расстоянии, не превышающем 3 м. Сколько всего спящих студентов в аудитории, если сумма показаний храпометров равна 7?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111345  (#1)

Темы:   [ Интеграл и площадь ] [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ]

Сложность: 3+ Классы: 11

Числа p и q таковы, что параболы  y = – 2x²  и  y = x² + px + q  пересекаются в двух точках, ограничивая некоторую фигуру.
Найдите уравнение вертикальной прямой, делящей площадь этой фигуры пополам.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111328  (#2)

Темы:   [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Числовые таблицы и их свойства ]

Сложность: 3- Классы: 7,8,9

В кинотеатре семь рядов по 10 мест каждый. Группа из 50 детей сходила на утренний сеанс, а потом на вечерний.
Докажите, что найдутся двое детей, которые на утреннем сеансе сидели в одном ряду и на вечернем тоже сидели в одном ряду.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 25]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями