Версия для печати
Убрать все задачи

---

Точка $M$ – середина стороны $BC$ треугольника $ABC$. Окружность $\omega$ проходит через точку $A$, касается прямой $BC$ в точке $M$ и пересекает сторону $AB$ в точке $D$, а сторону $AC$ – в точке $E$. Пусть $X$ и $Y$ – середины отрезков $BE$ и $CD$ соответственно. Докажите, что окружность, описанная около треугольника $MXY$, касается $\omega$.

   Решение

Страница: << 205 206 207 208 209 210 211 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 66854

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Числовые таблицы и их свойства ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Для каких $N$ можно расставить в клетках квадрата N×N действительные числа так, чтобы среди всевозможных сумм чисел на парах соседних по стороне клеток встречались все целые числа от 1 до $2(N - 1)N$ включительно (ровно по одному разу)?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66861

Темы:   [ Правило произведения ] [ Сочетания и размещения ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

К Ивану на день рождения пришли 2$N$ гостей. У Ивана есть $N$ чёрных и $N$ белых цилиндров. Он хочет устроить бал: надеть на гостей цилиндры и выстроить их в хороводы (один или несколько) так, чтобы в каждом хороводе было хотя бы два человека и люди в цилиндрах одного цвета не стояли в хороводе рядом. Докажите, что Иван может устроить бал ровно $(2N)!$ различными способами. (Цилиндры одного цвета неразличимы; все гости различимы.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66862

Темы:   [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Векторы помогают решить задачу ] [ Радикальная ось ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Дан вписанный четырёхугольник $ABCD$. Окружности с диаметрами $AB$ и $CD$ пересекаются в двух точках $X_{1}$ и $Y_{1}$. Окружности с диаметрами $ВС$ и $АD$ пересекаются в двух точках $X_{2}$ и $Y_{2}$. Окружности с диаметрами $AС$ и $ВD$ пересекаются в двух точках $X_{3}$ и $Y_{3}$. Докажите, что прямые $X_{1}Y_{1}, X_{2}Y_{2}, X_{3}Y_{3}$ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66893

Темы:   [ Теория алгоритмов (прочее) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

На клетчатой доске лежат доминошки, не касаясь даже углами. Каждая доминошка занимает две соседние (по стороне) клетки доски. Нижняя левая и правая верхняя клетки доски свободны. Всегда ли можно пройти из левой нижней клетки в правую верхнюю, делая ходы только вверх и вправо на соседние по стороне клетки и не наступая на доминошки, если доска имеет размеры

а) $100\times101$ клеток;

б) $100\times100$ клеток?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66997

Темы:   [ Последовательности (прочее) ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Первая производная бесконечной последовательности $a_1, a_2$, ... – это последовательность  $a'_n = a_{n+1} - a_n$  (где  $n$ = 1, 2, ...), а её k-я производная – это первая производная её ($k$–1)-й производной
($k$ = 2, 3, ...).  Назовём последовательность хорошей, если она и все её производные состоят из положительных чисел. Докажите, что если $a_1, a_2$, ... и $b_1, b_2$, ... – хорошие последовательности, то и $a_1b_1, a_2b_2$, ... – хорошая последовательность.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 205 206 207 208 209 210 211 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями