ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Туры:
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Версия для печати
Убрать все задачи
Пусть p и q — отличные от нуля
действительные числа и p2 - 4q > 0. Докажите, что следующие
последовательности сходятся:
Докажите, что для чисел {xn} из задачи 61297 можно в явном виде указать разложения в цепные дроби: xn+1 = [1;
Проанализируйте при помощи ним-сумм игру
``Йога''
из
задачи 4.21.
Коля Васин задумал число от 1 до 200. За
какое наименьшее число вопросов вы сможете его отгадать, если он
отвечает на каждый вопрос
Сходимость итерационного процесса.
Предположим, что функция f (x) отображает отрезок [a;b] в
себя, и на этом отрезке
| f'(x)|
| xn + 1 - xn|
Последовательность чисел {xn} задана условиями:
x1 Докажите, что
последовательность {xn} монотонна и ограничена. Найдите ее
предел.
Пусть Тест состоит из 30 вопросов, на каждый есть два варианта ответа (один верный, другой нет). За одну попытку Витя отвечает на все вопросы, после чего ему сообщают, на сколько вопросов он ответил верно. Сможет ли Витя действовать так, чтобы гарантированно узнать все верные ответы не позже, чем Боря задумал целое число, большее 100. Кира называет целое число, большее 1. Если Борино число делится на это число, Кира выиграла, иначе Боря вычитает из своего числа названное, и Кира называет следующее число. Ей запрещается повторять числа, названные ранее. Если Борино число станет отрицательным – Кира проигрывает. Есть ли у неё выигрышная стратегия? На берегу круглого озера растут 6 сосен. Известно, что если взять такие два треугольника, что вершины одного совпадают с тремя из сосен, а вершины другого – с тремя другими, то в середине отрезка, соединяющего точки пересечения высот этих треугольников, на дне озера находится клад. Неизвестно только, как нужно разбить данные шесть точек на две тройки. Сколько раз придётся опуститься на дно озера, чтобы наверняка отыскать клад? Существуют ли такие две функции f и g, принимающие только целые значения, что для любого целого x выполнены соотношения: |
Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 43]
Дано несколько белых и несколько чёрных точек. Из каждой белой точки идет стрелка в каждую чёрную, на каждой стрелке написано натуральное число. Известно, что если пройти по любому замкнутому маршруту, то произведение чисел на стрелках, идущих по направлению движения, равно произведению чисел на стрелках, идущих против направления движения. Обязательно ли можно поставить в каждой точке натуральное число так, чтобы число на каждой стрелке равнялось произведению чисел на её концах?
Существуют ли такие две функции f и g, принимающие только целые значения, что для любого целого x выполнены соотношения:
Каждому городу в некоторой стране присвоен индивидуальный номер. Имеется список, в котором для каждой пары номеров указано, соединены города с данными номерами железной дорогой или нет. Оказалось, что, какие ни взять два номера M и N из списка, можно так перенумеровать города, что город с номером M получит номер N, но список по-прежнему будет верным. Верно ли, что, какие ни взять два номера M и N из списка, можно так перенумеровать города, что город с номером M получит номер N, город с номером N получит номер M, но список по-прежнему будет верным?
Многочлен P(x) удовлетворяет условиям: P(0) = 1, (P(x))² = 1 + x + x100Q(x), где Q(x) – некий многочлен.
На окружности отмечены 10 точек, занумерованные по часовой стрелке: A1, A2, ..., A10, причём их можно разбить на пары симметричных относительно центра окружности. Изначально в каждой отмеченной точке сидит по кузнечику. Каждую минуту один из кузнечиков прыгает вдоль окружности через своего соседа так, чтобы расстояние между ними не изменилось. При этом нельзя пролетать над другими кузнечиками и попадать в точку, где уже сидит кузнечик. Через некоторое время оказалось, что какие-то 9 кузнечиков сидят в точках A1, A2, ..., A9, а десятый сидит на дуге A9A10A1. Можно ли утверждать, что он сидит именно в точке A10?
Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 43]
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |
Проект осуществляется при поддержке