Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 83 84 85 86 87 88 89 >> [Всего задач: 915]

Задача 67555

Темы:	[	Прямая Эйлера и окружность девяти точек	]
	[	Касающиеся окружности	]
	[	Угол между касательной и хордой	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Автор: Щербатов Я.

Высоты $AA_1$, $BB_1$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. Точки $A'$, $B'$ симметричны $A$, $B$ относительно $BB_1$, $AA_1$ соответственно. Докажите, что окружности девяти точек треугольников $A'B'C$ и $A'B'H$ касаются.

Прислать комментарий Решение

Задача 67565

Темы:	[	Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры	]
Темы:	[	Правильная пирамида	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Авторы: Алкин Э., Скопенков А.Б.

Можно ли взять в пространстве шесть точек $A_1$, ..., $A_6$ общего положения так, чтобы треугольники $A_1A_2A_3$ и $A_4A_5A_6$ были зацеплены, а два треугольника, соответствующие любому другому разбиению данных точек на две тройки, – нет?

Два треугольника в пространстве зацеплены, если контур одного пересекает внутренность другого в единственной точке.

Прислать комментарий Решение

Задача 103930

Темы:	[	Признаки и свойства параллелограмма	]
	[	Выпуклые многоугольники	]
	[	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10

Автор: Емельянов Л.А.

Дан выпуклый четырёхугольник без параллельных сторон. Для каждой тройки его вершин строится точка, дополняющая эту тройку до параллелограмма, одна из диагоналей которого совпадает с диагональю четырёхугольника. Доказать, что из четырёх построенных точек ровно одна лежит внутри исходного четырёхугольника.

Прислать комментарий

Решение

Задача 103932

Темы:	[	Длины сторон, высот, медиан и биссектрис	]
Темы:	[	Хорды и секущие (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Заславский А.А.

В окружности с центром O проведены две параллельные хорды AB и CD. Окружности с диаметрами AB и CD пересекаются в точке P.
Доказать, что середина отрезка OP равноудалена от прямых AB и CD.

Прислать комментарий

Решение

Задача 103936

Темы:	[	Правильный (равносторонний) треугольник	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Заславский А.А.

Точки A₁, B₁, C₁ – середины сторон правильного треугольника ABC. Три параллельные прямые, проходящие через A₁, B₁, C₁, пересекают, соответственно, прямые B₁C₁, C₁A₁, A₁B₁ в точках A₂, B₂, C₂. Доказать, что прямые AA₂, BB₂, CC₂ пересекаются в одной точке, лежащей на описанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 83 84 85 86 87 88 89 >> [Всего задач: 915]