Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 8 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Окружность с центром D проходит через вершины A, B и центр O вневписанной окружности треугольника ABC , касающейся его стороны BC и продолжений сторон AB и AC. Докажите, что точки A, B, C и D лежат на одной окружности.

Вниз   Решение


На доске написаны несколько чисел. Известно, что квадрат каждого записанного числа больше произведения любых двух других записанных чисел. Какое наибольшее количество чисел может быть на доске?

ВверхВниз   Решение


В треугольнике ABC, где  AB = BC = 6  и   AC = 2,  проведены медиана AA1, высота BB1 и биссектриса CC1.
Найдите площадь треугольника, образованного пересечением прямых:   а) BB1, CC1 и BC;   б) AA1, BB1 и CC1.

ВверхВниз   Решение


а) Внутри окружности находится некоторая точка A. Через A провели две перпендикулярные прямые, которые пересекли окружность в четырёх точках.
Докажите, что центр масс этих точек не зависит от выбора таких двух прямых.

б) Внутри окружности находится правильный 2n-угольник  (n > 2),  его центр A не обязательно совпадает с центром окружности. Лучи, выпущенные из A в вершины 2n-угольника, высекают 2n точек на окружности. 2n-угольник повернули так, что его центр остался на месте. Теперь лучи высекают 2n новых точек. Докажите, что их центр масс совпадает с центром масс старых 2n точек.

ВверхВниз   Решение


В городе Цветочном n площадей и m улиц  (mn + 1).  Каждая улица соединяет две площади и не проходит через другие площади. По существующей в городе традиции улица может называться либо Синей, либо Красной. Ежегодно в городе происходит переименование: выбирается площадь и переименовываются все выходящие из неё улицы. Докажите, что можно назвать улицы так, что переименованиями нельзя добиться одинаковых названий у всех улиц города.

ВверхВниз   Решение


В треугольнике ABC, где  AB = BC = 6  и   AC = 2,  проведены биссектриса AA1, высота BB1 и высота CC1.
Найдите площадь треугольника, образованного пересечением прямых:   а) AB, AA1 и BB1;   б) AA1, BB1 и CC1.

ВверхВниз   Решение


Известно, что  0 < a, b, c, d < 1  и  abcd = (1 – a)(1 – b)(1 – c)(1 – d).  Докажите, что   (a + b + c + d) – (a + c)(b + d) ≥ 1.

ВверхВниз   Решение


Дан равносторонний треугольник ABC. Найти множество всех таких точек D, что треугольники ABD и BCD - равнобедренные (отрезки AB и BC могут служить как основаниями, так и боковыми сторонами).

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 >> [Всего задач: 15]      



Задача 109038

Тема:   [ Системы алгебраических нелинейных уравнений ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Решить систему уравнений

    1 − x1x2x3 = 0,
    1 + x2x3x4 = 0,
    1 − x3x4x5 = 0,
    1 + x4x5x6 = 0,
      ...
    1 − x47x48x49 = 0,
    1 + x48x49x50 = 0,
    1 − x49x50x1 = 0,
    1 + x50x1x2 = 0.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109041

Темы:   [ Исследование квадратного трехчлена ]
[ Теорема о промежуточном значении. Связность ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

x1 – вещественный корень уравнения  x² + ax + b = 0,  x2 – вещественный корень уравнения  x² – ax – b = 0.
Доказать, что уравнение  x² + 2ax + 2b = 0  имеет вещественный корень, заключённый между x1 и x2.  (a и b – вещественные числа).

Прислать комментарий     Решение

Задача 109177

Темы:   [ Тригонометрические уравнения ]
[ Методы решения задач с параметром ]
[ Исследование квадратного трехчлена ]
[ Неравенство Коши ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Доказать, что каковы бы ни были числа a, b, c, по крайней мере одно из уравнений
    a sin x + b cos x + c = 0,   2a tg x + b ctg x + 2c = 0
имеет решение.

Прислать комментарий     Решение

Задача 108750

Темы:   [ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ]
[ Правильный (равносторонний) треугольник ]
[ Метод ГМТ ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

Дан равносторонний треугольник ABC. Найти множество всех таких точек D, что треугольники ABD и BCD - равнобедренные (отрезки AB и BC могут служить как основаниями, так и боковыми сторонами).
Прислать комментарий     Решение


Задача 109037

Темы:   [ Окружность, вписанная в угол ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

MA и MB – касательные к окружности O,; C – точка внутри окружности, лежащая на дуге AB с центром в точке M . Доказать, что отличные от A и B точки пересечения прямых AC и BC с окружностью O лежат на противоположных концах одного диаметра.
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 1 2 3 >> [Всего задач: 15]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .