Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 10 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Автор: Фольклор

На координатной плоскости изображен график функции  y = ax² + c  (см. рисунок). В каких точках график функции  y = cx + a  пересекает оси координат?

Вниз   Решение


Сплав из золота и серебра массой 13 кг 850 г при полном погружении в воду вытеснил 900 г воды. Определить количество золота и серебра в этом сплаве, если известно, что плотность золота равна 19,3 кг/дм3, а серебра – 10,5 кг/дм3.

ВверхВниз   Решение


В квадрате n×n клеток бесконечной шахматной доски расположены n2 фишек, по одной фишке в каждой клетке. Ходом называется перепрыгивание любой фишкой через соседнюю по стороне фишку, непосредственно за которой следует свободная клетка. При этом фишка, через которую перепрыгнули, с доски снимается. Докажите, что позиция, в которой дальнейшие ходы невозможны, возникнет не ранее, чем через [] ходов.

ВверхВниз   Решение


Автор: Фольклор

Найдите наименьшее число, кратное 45, десятичная запись которого состоит только из единиц и нулей.

ВверхВниз   Решение


Решить в целых числах уравнение  9x + 2 = (y + 1)y.

ВверхВниз   Решение


Автор: Фольклор

На доске записаны числа 1, 21, 2², 2³, 24, 25. Разрешается стереть любые два числа и вместо них записать их разность – неотрицательное число.
Может ли на доске в результате нескольких таких операций остаться только число 15?

ВверхВниз   Решение


Каких точных квадратов, не превосходящих 1020, больше: тех, у которых семнадцатая с конца цифра – 7, или тех, у которых семнадцатая с конца цифра – 8?

ВверхВниз   Решение


Сумма цифр в десятичной записи натурального числа n равна 100, а сумма цифр числа 44n равна 800. Чему равна сумма цифр числа 3n ?

ВверхВниз   Решение


Автор: Фольклор

Решите уравнение:   (x + 2010)(x + 2011)(x + 2012) = (x + 2011)(x + 2012)(x + 2013).

ВверхВниз   Решение


Из квадратной доски 1000×1000 клеток удалены четыре прямоугольника 2×994 (см. рис.).

На клетке, помеченной звездочкой, стоит кентавр – фигура, которая за один ход может перемещаться на одну клетку вверх, влево или по диагонали вправо и вверх. Двое игроков ходят кентавром по очереди. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход. Кто выигрывает при правильной игре?

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]      



Задача 109542  (#93.4.10.8)

Темы:   [ Шахматные доски и шахматные фигуры ]
[ Выигрышные и проигрышные позиции ]
Сложность: 4
Классы: 7,8,9

Из квадратной доски 1000×1000 клеток удалены четыре прямоугольника 2×994 (см. рис.).

На клетке, помеченной звездочкой, стоит кентавр – фигура, которая за один ход может перемещаться на одну клетку вверх, влево или по диагонали вправо и вверх. Двое игроков ходят кентавром по очереди. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход. Кто выигрывает при правильной игре?

Прислать комментарий     Решение

Задача 109529  (#93.4.11.1)

Темы:   [ Десятичная система счисления ]
[ Уравнения в целых числах ]
[ Перебор случаев ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Найдите все натуральные числа n, для которых сумма цифр числа 5n равна 2n.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109530  (#93.4.11.2)

Темы:   [ Иррациональные неравенства ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Неравенство Коши ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Карасев Р.

Докажите, что для любого натурального  n > 2  число     делится на 8.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109531  (#93.4.11.3)

Темы:   [ Сфера, вписанная в многогранный угол ]
[ Касательные к сферам ]
[ Три точки, лежащие на одной прямой ]
[ Вспомогательные равные треугольники ]
[ Четырехугольная пирамида ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Точка O – основание высоты четырёхугольной пирамиды. Сфера с центром O касается всех боковых граней пирамиды. Точки A, B, C и D взяты последовательно по одной на боковых ребрах пирамиды так, что отрезки AB, BC и CD проходят через три точки касания сферы с гранями.
Докажите, что отрезок AD проходит через четвёртую точку касания.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109532  (#93.4.11.4)

Темы:   [ Правильные многоугольники ]
[ Векторы сторон многоугольников ]
[ Свойства суммы, разности векторов и произведения вектора на число ]
[ Центральная симметрия помогает решить задачу ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ Поворот помогает решить задачу ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Дан правильный 2n-угольник.
Докажите, что на всех его сторонах и диагоналях можно расставить стрелки так, чтобы сумма полученных векторов была нулевой.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .