Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 15 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Автор: Храмцов Д.

Куб со стороной n ( n3 ) разбит перегородками на единичные кубики. Какое минимальное число перегородок между единичными кубиками нужно удалить, чтобы из каждого кубика можно было добраться до границы куба?

Вниз   Решение


Автор: Перлин А.

Квадратный трёхчлен  f(x) разрешается заменить на один из трёхчленов      или     Можно ли с помощью таких операций из квадратного трёхчлена  x² + 4x + 3  получить трёхчлен  x² + 10x + 9?

ВверхВниз   Решение


Докажите, что из любого конечного множества точек на плоскости можно так удалить одну точку, что оставшееся множество можно разбить на две части меньшего диаметра. (Диаметр – это максимальное расстояние между точками множества.)

ВверхВниз   Решение


Существуют ли действительные числа a , b и c такие, что при всех действительных x и y выполняется неравенство

|x+a|+|x+y+b|+|y+c|>|x|+|x+y|+|y|?

ВверхВниз   Решение


Решите уравнение  {(x + 1)³} = x³.

ВверхВниз   Решение


На вечеринку пришли 100 человек. Затем те, у кого не было знакомых среди пришедших, ушли. Затем те, у кого был ровно один знакомый среди оставшихся, тоже ушли. Затем аналогично поступали те, у кого было ровно 2, 3, 4, ..., 99 знакомых среди оставшихся к моменту их ухода.
Какое наибольшее число людей могло остаться в конце?

ВверхВниз   Решение


Автор: Сонкин М.

В треугольнике ABC  (AB > BCK и M – середины сторон AB и AC, O – точка пересечения биссектрис. Пусть P – точка пересечения прямых KM и CO, а точка Q такова, что  QPKM  и  QM || BO.  Докажите, что  QOAC.

ВверхВниз   Решение


Автор: Тен О.

Даны натуральные числа m и n. Докажите, что число  2n – 1  делится на число  (2m – 1)²  тогда и только тогда, когда число n делится на число  m(2m – 1).

ВверхВниз   Решение


Назовём сочетанием цифр несколько цифр, записанных подряд. В стране Роботландии некоторые сочетания цифр объявлены запрещёнными. Известно, что запрещённых сочетаний конечное число и существует бесконечная десятичная дробь, не содержащая запрещённых сочетаний. Докажите, что существует бесконечная периодическая десятичная дробь, не содержащая запрещённых сочетаний.

ВверхВниз   Решение


В равнобедренном треугольнике ABC  (AB = BC)  средняя линия, параллельная стороне BC, пересекается со вписанной окружностью в точке F, не лежащей на основании AC. Докажите, что касательная к окружности в точке F пересекается с биссектрисой угла C на стороне AB.

ВверхВниз   Решение


Автор: Храмцов Д.

Докажите, что из любых шести четырёхзначных чисел, взаимно простых в совокупности, всегда можно выбрать пять чисел, также взаимно простых в совокупности.

ВверхВниз   Решение


Автор: Антонов М.

Лабиринт представляет собой квадрат 8×8, в каждой клетке 1×1 которого нарисована одна из четырёх стрелок (вверх, вниз, вправо, влево). Верхняя сторона правой верхней клетки – выход из лабиринта. В левой нижней клетке находится фишка, которая каждым своим ходом перемещается на одну клетку в направлении, указанном стрелкой. После каждого хода стрелка в клетке, в которой только что была фишка, поворачивается на 90° по часовой стрелке. Если фишка должна сделать ход, выводящий ее за пределы квадрата 8×8, она остается на месте, а стрелка также поворачивается на 90° по часовой стрелке. Докажите, что рано или поздно фишка выйдет из лабиринта.

ВверхВниз   Решение


Из бесконечной шахматной доски вырезали многоугольник со сторонами, идущими по сторонам клеток. Отрезок периметра многоугольника называется черным, если примыкающая к нему изнутри многоугольника клетка – черная, соответственно белым, если клетка белая. Пусть A – количество черных отрезков на периметре, B – количество белых, и пусть многоугольник состоит из a черных и b белых клеток. Докажите, что A-B=4(a-b) .

ВверхВниз   Решение


Автор: Вавилов В.

Семь треугольных пирамид стоят на столе. Для любых трех из них существует горизонтальная плоскость, которая пересекает их по треугольникам равной площади. Доказать, что существует плоскость, пересекающая все семь пирамид по треугольникам равной площади.

ВверхВниз   Решение


Пусть f(x)=x2+ax+b cos x . Найдите все значения параметров a и b , при которых уравнения f(x)=0 и f(f(x))=0 имеют совпадающие непустые множества действительных корней.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 56]      



Задача 109957  (#98.4.9.8)

Темы:   [ Инварианты ]
[ Метод координат на плоскости ]
[ Четность и нечетность ]
[ Процессы и операции ]
[ Геометрия на клетчатой бумаге ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Автор: Храмцов Д.

Ножки циркуля находятся в узлах бесконечного листа клетчатой бумаги, клетки которого – квадраты со стороной 1. Разрешается, не меняя раствора циркуля, поворотом его вокруг одной из ножек перемещать вторую ножку в другой узел на листе. Можно ли за несколько таких шагов поменять ножки циркуля местами?

Прислать комментарий     Решение

Задача 109942  (#98.4.10.1)

Темы:   [ Процессы и операции ]
[ Методы решения задач с параметром ]
[ Тригонометрические уравнения ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Пусть f(x)=x2+ax+b cos x . Найдите все значения параметров a и b , при которых уравнения f(x)=0 и f(f(x))=0 имеют совпадающие непустые множества действительных корней.
Прислать комментарий     Решение


Задача 108105  (#98.4.10.2)

Темы:   [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]
[ Признаки и свойства параллелограмма ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Автор: Сонкин М.

В остроугольном треугольнике ABC через центр O описанной окружности и вершины B и C проведена окружность S. Пусть OK – диаметр окружности S, D и E – соответственно точки её пересечения с прямыми AB и AC. Докажите, что ADKE – параллелограмм.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109944  (#98.4.10.3)

Темы:   [ Системы точек ]
[ Экстремальные свойства окружности и криволинейных фигур ]
[ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ]
[ Теорема косинусов ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Докажите, что из любого конечного множества точек на плоскости можно так удалить одну точку, что оставшееся множество можно разбить на две части меньшего диаметра. (Диаметр – это максимальное расстояние между точками множества.)
Прислать комментарий     Решение


Задача 109945  (#98.4.10.4)

Темы:   [ Теория игр (прочее) ]
[ Геометрическая прогрессия ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

В первые 1999 ячеек компьютера в указанном порядке записаны числа: 1, 2, 4, 21998 . Два программиста по очереди уменьшают за один ход на единицу числа в пяти различных ячейках. Если в одной из ячеек появляется отрицательное число, то компьютер ломается, и сломавший его оплачивает ремонт. Кто из программистов может уберечь себя от финансовых потерь независимо от ходов партнера, и как он должен для этого действовать?
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 56]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .