Версия для печати
Убрать все задачи

---

На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC взята точка X, M и N – её проекции на катеты AC и BC.
  а) При каком положении точки X длина отрезка MN будет наименьшей?
  б) При каком положении точки X площадь четырёхугольника CMXN будет наибольшей?

   Решение

---

Требуется заполнить числами квадратную таблицу из n×n клеток так, чтобы сумма чисел на каждой из  4n – 2  диагоналей равнялась 1. Можно ли это сделать при
  а)  n = 55?
  б)  n = 1992?

   Решение

---

Существуют ли такие 100 треугольников, ни один из которых нельзя покрыть 99 остальными?

   Решение

---

Докажите, что можно выбрать такие различные действительные числа  a₁, a₂, ..., a₁₀,  что уравнение
(x – a₁)(x – a₂)...(x – a₁₀) = (x + a₁)(x + a₂)...(x + a₁₀)  будет иметь ровно пять различных действительных корней.

   Решение

---

По двум пересекающимся дорогам с равными постоянными скоростями движутся автомобили "Ауди" и БМВ. Оказалось, что как в 17.00, так и в 18.00 БМВ находился в два раза дальше от перекрёстка, чем "Ауди". В какое время "Ауди" мог проехать перекрёсток?

   Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 56]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 110165  (#04.4.8.1)

Темы:   [ Задачи на движение ] [ Перебор случаев ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9,10

По двум пересекающимся дорогам с равными постоянными скоростями движутся автомобили "Ауди" и БМВ. Оказалось, что как в 17.00, так и в 18.00 БМВ находился в два раза дальше от перекрёстка, чем "Ауди". В какое время "Ауди" мог проехать перекрёсток?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110166  (#04.4.8.2)

Темы:   [ Взвешивания ] [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9

Имеется набор гирь со следующими свойствами:

1. В нем есть 5 гирь, попарно различных по весу.
2. Для любых двух гирь найдутся две другие гири того же суммарного веса.

Какое наименьшее число гирь может быть в этом наборе?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110167  (#04.4.8.3)

Темы:   [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Средняя линия треугольника ] [ Перпендикуляр короче наклонной. Неравенства для прямоугольных треугольников ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9

В остроугольном треугольнике расстояние от середины каждой стороны до противоположной вершины равно сумме расстояний от неё до сторон треугольника. Докажите, что этот треугольник – равносторонний.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110168  (#04.4.8.4)

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Куб ] [ Шахматная раскраска ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

В ячейки куба 11×11×11 поставлены по одному числа 1, 2, ..., 1331. Из одного углового кубика в противоположный угловой отправляются два червяка. Каждый из них может проползать в соседний по грани кубик, при этом первый может проползать, если число в соседнем кубике отличается на 8, второй – если отличается на 9. Существует ли такая расстановка чисел, что оба червяка смогут добраться до противоположного углового кубика?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110169  (#04.4.8.5)

Темы:   [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ] [ Квадратичные неравенства (несколько переменных) ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9

Может ли в наборе из шести чисел  (a, b, c, ^a²/_b, ^b²/_c, ^c²/_a},  где a, b, c – положительные числа, оказаться ровно три различных числа?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 56]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями