Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 16 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Можно ли покрасить некоторые клетки доски 8×8 так, чтобы в любом квадрате 3×3 было ровно 5 закрашенных клеток, а в каждом прямоугольнике 2×4 (вертикальном или горизонтальном) – ровно 4 закрашенные клетки?

Вниз   Решение


На экране компьютера стоят в ряд 200 человек. На самом деле эта картинка составлена из 100 фрагментов, на каждом – пара: взрослый и ребёнок пониже ростом. Разрешается в каждом из фрагментов изменить масштаб, уменьшив при этом одновременно рост взрослого и ребёнка в одинаковое целое число раз (масштабы разных фрагментов можно менять независимо друг от друга). Докажите, что это можно сделать так, что на общей картинке все взрослые будут выше всех детей.

ВверхВниз   Решение


Точки M и N – середины противоположных сторон BC и AD выпуклого четырёхугольника ABCD. Диагональ AC проходит через середину отрезка MN. Докажите, что треугольники ABC и ACD равновелики.

ВверхВниз   Решение


Какое наибольшее число белых и чёрных фишек можно расставить на шахматной доске так, чтобы на каждой горизонтали и на каждой вертикали белых фишек было ровно в два раза больше, чем чёрных?

ВверхВниз   Решение


Bыпуклый n-угольник P, где  n > 3,  разрезан на равные треугольники диагоналями, не пересекающимися внутри него.
Каковы возможные значения n, если n-угольник вписанный?

ВверхВниз   Решение


Дано 101-элементное подмножество A множества  S = {1, 2, ..., 1000000}.
Докажите, что для некоторых  t1, ..., t100  из S множества   Aj = {x + tj | xA;  j = 1, ..., 100}   попарно не пересекаются.

ВверхВниз   Решение


На сторонах единичного квадрата отметили точки K, L, M и N так, что прямая KM параллельна двум сторонам квадрата, а прямая LN – двум другим сторонам квадрата. Отрезок KL отсекает от квадрата треугольник периметра 1. Треугольник какой площади отсекает от квадрата отрезок MN?

ВверхВниз   Решение


Пусть p – простое число. Докажите, что при некотором простом q все числа вида  np – p  не делятся на q.

ВверхВниз   Решение


В клетчатом квадрате 10×10 отмечены центры всех единичных квадратиков (всего 100 точек). Какое наименьшее число прямых, не параллельных сторонам квадрата,

нужно провести, чтобы вычеркнуть все отмеченные точки?

ВверхВниз   Решение


Внутри квадрата ABCD взята точка M. Докажите, что точки пересечения медиан треугольников  ABM, BCM, CDM и DAM образуют квадрат.

ВверхВниз   Решение


Боковая поверхность прямоугольного параллелепипеда с основанием a×b и высотой c (a, b и c – натуральные числа) оклеена по клеточкам без наложений и пропусков прямоугольниками со сторонами, параллельными рёбрам параллелепипеда, каждый из которых состоит из чётного числа единичных квадратов. При этом разрешается перегибать прямоугольники через боковые ребра параллелепипеда. Докажите, что если c нечётно, то число способов оклейки чётно.

ВверхВниз   Решение


Найдите все такие натуральные  (a, b),  что a2 делится на натуральное число  2ab2b3 + 1.

ВверхВниз   Решение


Одной операцией к числу можно либо прибавить 9, либо стереть в нём в любом месте цифру 1.
Из любого ли натурального числа A при помощи таких операций можно получить число A + 1?
(Если стирается единица в самом начале числа, а за ней сразу идут нули, то эти нули тоже стираются.)

ВверхВниз   Решение


Дан квадратный лист бумаги со стороной 1. Отмерьте на этом листе расстояние ⅚ (лист можно сгибать, в том числе, по любому отрезку с концами на краях бумаги и разгибать обратно; после разгибания на бумаге остаётся след от линии сгиба).

ВверхВниз   Решение


Вокруг правильного семиугольника описали окружность и вписали в него окружность. То же проделали с правильным 17-угольником. В результате каждый из многоугольников оказался расположенным в своем круговом кольце. Оказалось, что площади этих колец одинаковы. Докажите, что стороны многоугольников одинаковы.

ВверхВниз   Решение


Пусть  $x_1 \le \dots \le x_n$.  Докажите неравенство $$\bigg( \sum \limits_{i,j=1}^n |x_i-x_j|\bigg)^2 \le \frac{2 (n^2-1)}{3} \sum \limits_{i,j=1}^n (x_i-x_j)^2.$$ Докажите, что оно обращается в равенство только если числа $x_1, \dots, x_n$ образуют арифметическую прогрессию.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      



Задача 111042

Темы:   [ Описанные четырехугольники ]
[ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]
[ Теорема синусов ]
[ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
[ Вспомогательная окружность ]
[ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Дан описанный четырёхугольник ABCD, P, Q и R – основания перпендикуляров, опущенных из вершины D на прямые BC, CA, AB соответственно. Докажите, что биссектрисы углов ABC, ADC и диагональ AC пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда  |PQ| = |QR|.

Прислать комментарий     Решение

Задача 111040

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Квадратные уравнения. Теорема Виета ]
[ Уравнения в целых числах ]
[ Алгебраические неравенства (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Найдите все такие натуральные  (a, b),  что a2 делится на натуральное число  2ab2b3 + 1.

Прислать комментарий     Решение

Задача 111043

Темы:   [ Квадратичные неравенства (несколько переменных) ]
[ Классические неравенства (прочее) ]
[ Выделение полного квадрата. Суммы квадратов ]
[ Арифметическая прогрессия ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Пусть  $x_1 \le \dots \le x_n$.  Докажите неравенство $$\bigg( \sum \limits_{i,j=1}^n |x_i-x_j|\bigg)^2 \le \frac{2 (n^2-1)}{3} \sum \limits_{i,j=1}^n (x_i-x_j)^2.$$ Докажите, что оно обращается в равенство только если числа $x_1, \dots, x_n$ образуют арифметическую прогрессию.

Прислать комментарий     Решение

Задача 111039

Темы:   [ Объединение, пересечение и разность множеств ]
[ Сочетания и размещения ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Дано 101-элементное подмножество A множества  S = {1, 2, ..., 1000000}.
Докажите, что для некоторых  t1, ..., t100  из S множества   Aj = {x + tj | xA;  j = 1, ..., 100}   попарно не пересекаются.

Прислать комментарий     Решение

Задача 111044

Темы:   [ Простые числа и их свойства ]
[ Арифметика остатков (прочее) ]
[ Разложение на множители ]
[ Малая теорема Ферма ]
Сложность: 5+
Классы: 9,10,11

Пусть p – простое число. Докажите, что при некотором простом q все числа вида  np – p  не делятся на q.

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .