Версия для печати
Убрать все задачи

---

Постройте треугольник АВС по углу А и медианам, проведенным из вершин В и С.

   Решение

---

Высоты $AA_1$, $CC_1$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$; $B_0$ – середина стороны $AC$. Прямая, проходящая через вершину $B$ параллельно $AC$, пересекает прямые $B_0A_1$, $B_0C_1$ в точках $A'$, $C'$ соответственно. Докажите, что прямые $AA'$, $CC'$, $BH$ пересекаются в одной точке.

   Решение

---

Дан равнобедренный треугольник ABC  (AB = AC).  На меньшей дуге AB описанной около него окружности взята точка D. На продолжении отрезка AD за точку D выбрана точка E так, что точки A и E лежат в одной полуплоскости относительно BC. Описанная окружность треугольника BDE пересекает сторону AB в точке F. Докажите, что прямые EF и BC параллельны.

   Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 1124]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 116541

Темы:   [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 2 Классы: 8,9

Дан равнобедренный треугольник ABC  (AB = AC).  На меньшей дуге AB описанной около него окружности взята точка D. На продолжении отрезка AD за точку D выбрана точка E так, что точки A и E лежат в одной полуплоскости относительно BC. Описанная окружность треугольника BDE пересекает сторону AB в точке F. Докажите, что прямые EF и BC параллельны.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116599

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 2 Классы: 8,9,10

Докажите, что для любого натурального n выполнено неравенство  (n – 1)ⁿ⁺¹(n + 1)^n–1 < n²ⁿ.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116540

Темы:   [ Системы алгебраических нелинейных уравнений ] [ Неопределено ]

Сложность: 2+ Классы: 8,9

Про три положительных числа известно, что если выбрать одно из них и прибавить к нему сумму квадратов двух других, то получится одна и та же сумма, независимо от выбранного числа. Верно ли, что все числа равны?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116563

Темы:   [ Рациональные и иррациональные числа ] [ Тождественные преобразования (тригонометрия) ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 2+ Классы: 10,11

Существует ли такое вещественное α, что число cos α иррационально, а все числа cos 2α, cos 3α, cos 4α, cos 5α рациональны?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116595

Тема:   [ Арифметическая прогрессия ]

Сложность: 2+ Классы: 8,9,10

Бесконечная возрастающая арифметическая прогрессия такова, что произведение каждых двух различных её членов – также член этой прогрессии. Докажите, что все её члены – целые числа.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 1124]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями