ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Годы:
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 1122]      



Задача 116947

Темы:   [ Десятичная система счисления ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
Сложность: 3-
Классы: 8,9,10

Три натуральных числа таковы, что последняя цифра суммы любых двух из них является последней цифрой третьего числа. Произведение этих трёх чисел записали на доске, а затем всё, кроме трёх последних цифр этого произведения, стёрли. Какие три цифры могли остаться на доске?

Прислать комментарий     Решение

Задача 64359

Темы:   [ Многочлен нечетной степени имеет действительный корень ]
[ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]
Сложность: 3
Классы: 10,11

Даны многочлены P(x) и Q(x) десятой степени, старшие коэффициенты которых равны 1. Известно, что уравнение  P(x) = Q(x)  не имеет действительных корней. Докажите, что уравнение P(x + 1) = Q(x – 1) имеет хотя бы один действительный корень.

Прислать комментарий     Решение

Задача 64777

Темы:   [ Тригонометрические неравенства ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3
Классы: 10,11

Существует ли такое положительное число α, что при всех действительных x верно неравенство   |cos x| + |cos αx| > sin x + sin αx?

Прислать комментарий     Решение

Задача 65693

Темы:   [ Квадратный трехчлен (прочее) ]
[ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]
Сложность: 3
Классы: 9,10,11

Даны квадратные трёхчлены  f1(x),  f2(x), ...,  f100(x) с одинаковыми коэффициентами при x², одинаковыми коэффициентами при x, но различными свободными членами; у каждого из них есть по два корня. У каждого трёхчлена fi(x) выбрали один корень и обозначили его через xi. Какие значения может принимать сумма  f2(x1) + f3(x2) + ... + f100(x99) + f1(x100)?

Прислать комментарий     Решение

Задача 65701

Темы:   [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Хорды и секущие (прочее) ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
Сложность: 3
Классы: 9,10,11

На стороне AB выпуклого четырёхугольника ABCD взяты точки K и L (точкаK лежит между A и L), а на стороне CD взяты точки M и N (точка M между C и N). Известно, что  AK = KN = DN  и  BL = BC = CM.  Докажите, что если BCNK – вписанный четырёхугольник, то и ADML тоже вписан.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 1122]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .