Найти наименьшее натуральное N, дающее остаток 1 по модулю 2, 2 по модулю 3, ..., 7 по модулю 8.

   Решение

Грани некоторого многогранника раскрашены в два цвета так, что соседние грани имеют разные цвета. Известно, что все грани, кроме одной, имеют число рёбер, кратное 3. Доказать, что и эта одна грань имеет кратное 3 число рёбер.

   Решение

Постройте радикальную ось двух непересекающихся окружностей S₁ и S₂.

   Решение

Верно ли, что любой треугольник можно разбить на четыре равнобедренных треугольника?

   Решение

Существует ли ломаная, пересекающая все рёбра картинки по одному разу?

   Решение

Доказать, что в двудольном плоском графе  E ≥ 2F,  если  E ≥ 2  (E – число рёбер, F – число областей).

   Решение

Найдите наибольшее из чисел  5¹⁰⁰, 6⁹¹, 7⁹⁰, 8⁸⁵.

   Решение

Доказать, что квадрат натурального числа не может оканчиваться на две нечётные цифры.

   Решение

Существует ли такое натуральное x, что  x² + x + 1  делится на 1985?

   Решение

На линейке отмечены три деления: 0, 2 и 5. Как отложить с её помощью отрезок, равный 6?

   Решение

Продолжения сторон AB и CD четырехугольника ABCD пересекаются в точке F, а продолжения сторон BC и AD — в точке E. Докажите, что окружности с диаметрами AC, BD и EF имеют общую радикальную ось, причем на ней лежат ортоцентры треугольников  ABE, CDE, ADF и BCF.

   Решение

На сторонах шестиугольника было записано шесть чисел, а в каждой вершине – число, равное сумме двух чисел на смежных с ней сторонах. Затем все числа на сторонах и одно число в вершине стерли. Можно ли восстановить число, стоявшее в вершине?

   Решение

На сторонах треугольника ABC внешним образом построены квадраты с центрами P, Q и R. На сторонах треугольника PQR внутренним образом построены квадраты. Докажите, что их центры являются серединами сторон треугольника ABC.

   Решение

У юного художника была одна банка синей и одна банка жёлтой краски, каждой из которых хватает на покраску 38 дм² площади. Использовав всю эту краску, он нарисовал картину: синее небо, зелёную траву и жёлтое солнце. Зелёный цвет он получал, смешивая две части жёлтой краски и одну часть синей. Какая площадь на его картине закрашена каждым цветом, если площадь травы на картине на 6 дм² больше, чем площадь неба?

   Решение

Через вершину A квадрата ABCD проведены прямые l₁ и l₂, пересекающие его стороны. Из точек B и D опущены перпендикуляры BB₁, BB₂, DD₁ и DD₂ на эти прямые. Докажите, что отрезки B₁B₂ и D₁D₂ равны и перпендикулярны.

   Решение

При каких p и q двучлен  x⁴ + 1  делится на  x² + px + q?

   Решение

В треугольнике $ABC$ $\angle A= 45^{\circ}$. Точка $A'$ диаметрально противоположна $A$ на описанной окружности треугольника. Точки $E$, $F$ на сторонах $AB$, $AC$ соответственно таковы. что $A'B=BE$, $A'C=CF$. Пусть $K$ – вторая точка пересечения окружностей $AEF$ и $ABC$. Докажите, что прямая $EF$ делит пополам отрезок $A'K$.

   Решение

Можно ли начертить, не отрывая карандаша от бумаги (одним росчерком)
  а) квадрат с диагоналями?
  б) шестиугольник со всеми диагоналями?

   Решение

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 180]      

20 команд сыграли круговой турнир по волейболу.
Докажите, что команды можно занумеровать числами от 1 до 20 так, что 1-я команда выиграла у 2-й, 2-я – у 3-й, ..., 19-я – у 20-й.

Прислать комментарий

Решение

В графе 20 вершин, степень каждой не меньше 10. Доказать, что в нём есть гамильтонов путь.

Прислать комментарий

Решение

Можно ли начертить, не отрывая карандаша от бумаги (одним росчерком)
  а) квадрат с диагоналями?
  б) шестиугольник со всеми диагоналями?

Прислать комментарий

Решение

Существует ли ломаная, пересекающая все рёбра картинки по одному разу?

Прислать комментарий

Решение

На плоскости дано 100 окружностей, составляющих связную (то есть не распадающуюся на части) фигуру.
Докажите, что эту фигуру можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя дважды одну и ту же линию.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 180]