- 2. Четность (6 задач)
- 8. Арифметика (6 задач)
- 9. Графы (6 задач)
Фильтр
Выбрано 19 задач Убрать все задачи
В однокруговом футбольном турнире играли n > 4 команд. За победу давалось 3 очка, за ничью 1, за проигрыш 0. Оказалось, что все команды набрали поровну очков.
а) Докажите, что найдутся четыре команды, имеющие поровну побед, поровну ничьих и поровну поражений.
б) При каком наименьшем n могут не найтись пять таких команд?
Пусть AF – медиана треугольника ABC, D – середина отрезка AF, E – точка пересечения прямой CD со стороной AB. Оказалось, что BD = BF.
Докажите, что AE = DE.
Написанное на доске четырехзначное число можно заменить на другое, прибавив к двум его соседним цифрам по единице, если ни одна из этих цифр не равна 9, либо вычтя из соседних двух цифр по единице, если ни одна из них не равна 0. Можно ли с помощью таких операций из числа 1234 получить число 2002?
Назовем многогранник хорошим, если его объем (измеренный в м3 ) численно равен площади его поверхности (измеренной в м2 ). Можно ли какой-нибудь хороший тетраэдр разместить внутри какого-нибудь хорошего параллелепипеда?
Проведена окружность S с центром в вершине C равнобедренного треугольника ABC ( AC=BC ). Радиус окружности меньше AC . Найдите на этой окружности такую точку P , чтобы касательная к окружности, проведённая в этой точке, делила пополам угол APB .
Может ли прямая, не содержащая вершин замкнутой 11-звенной ломаной, пересекать все её звенья?
По кругу расставлены красные и синие числа. Каждое красное число равно сумме соседних чисел, а каждое синее– полусумме соседних чисел. Докажите, что сумма красных чисел равна нулю.
Клетчатый квадрат 100×100 разрезан на доминошки. Двое играют в игру. Каждым ходом игрок склеивает две соседних по стороне клетки, между которыми был проведён разрез. Игрок проигрывает, если после его хода фигура получилась связной, то есть весь квадрат можно поднять со стола, держа его за одну клетку. Кто выиграет при правильной игре – начинающий или его соперник?
В трапеции ABCD с меньшим основанием BC и
площадью, равной 2, прямые BC и AD касаются
окружности диаметром в точках B и D
соответственно. Боковые стороны трапеции AB и
CD пересекают окружность в точках M и N
соответственно. Длина MN равна 1. Найдите величину
угла MBN и длину основания AD .
Придворный астролог царя Гороха называет время суток хорошим, если на часах с центральной секундной стрелкой при мгновенном обходе циферблата по ходу часов минутная стрелка встречается после часовой и перед секундной. Какого времени в сутках больше: хорошего или плохого? (Стрелки часов движутся с постоянной скоростью.)
Угол боковой грани с плоскостью основания правильной шестиугольной пирамиды равен β . Найдите плоский угол при вершине пирамиды.
Дан такой набор из 2009 чисел, что если каждое число в наборе заменить на сумму остальных чисел, то получится тот же набор.
Найдите произведение всех чисел набора.
В трапеции CDEA основание CA = 15, основание DE = 9, DA = 13. На описанной около трапеции CDEA окружности взята отличная от A точка B так, что DB = 13. Найдите длину отрезка CB и площадь пятиугольника ABCDE.
Угол бокового ребра с плоскостью основания правильной шестиугольной пирамиды равен α . Найдите плоский угол при вершине пирамиды.
В треугольнике ABC высоты AA1 и CC1 пересекаются в точке H, лежащей внутри треугольника. Известно, что H – середина AA1, а CH : HC1 = 2 : 1. Найдите величину угла B.
В некотором городе сеть автобусных маршрутов устроена так, что каждые два маршрута имеют ровно одну общую остановку, и на каждом маршруте есть хотя бы 4 остановки. Докажите, что все остановки можно распределить между двумя компаниями так, что на каждом маршруте найдутся остановки обеих компаний.
Пусть ABCD – четырёхугольник с параллельными сторонами AD и BC; M и N – середины его сторон AB и CD соответственно. Прямая MN делит пополам отрезок, соединяющий центры окружностей, описанных около треугольников ABC и ADC. Докажите, что ABCD – параллелограмм.
По шоссе мимо наблюдателя проехали "Москвич", "Запорожец" и двигавшаяся им навстречу "Нива". Известно, что когда с наблюдателем поравнялся "Москвич", то он был равноудалён от "Запорожца" и "Нивы", а когда с наблюдателем поравнялась "Нива", то она была равноудалена от "Москвича" и "Запорожца". Докажите, что "Запорожец" в момент проезда мимо наблюдателя был равноудалён от "Нивы" и "Москвича". (Скорости автомашин считаем постоянными. В рассматриваемые моменты равноудалённые машины находились по разные стороны от наблюдателя.)
Делится ли 222555 + 555222 на 7?
Задачи Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 18]
Задача 32994 |
|
|
Выписать в ряд цифры от 1 до 9 (каждую по разу) так, чтобы каждые две подряд идущие цифры давали бы двузначное число, делящееся на 7 или на 13.
|
|
Решение |
Задача 32988 |
|
|
Делится ли 222555 + 555222 на 7?
|
|
Решение |
Задача 77980 |
|
|
В плоскости расположено 11 шестерёнок таким образом, что первая сцеплена со второй, вторая – с третьей, ..., одиннадцатая – с первой.
Могут ли они вращаться?
|
|
|
Решение |
Задача 30285 |
|
|
Может ли прямая, не содержащая вершин замкнутой 11-звенной ломаной, пересекать все её звенья?
|
|
|
Решение |
Задача 32947 |
|
|
Можно ли замостить доминошками 1×2 шахматную доску 8×8, из которой
вырезаны
а) клеточки b3 и e7;
б) два противоположных угловых поля (a1 и h8)?
|
|
|
Решение |
Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 18]
