Processing math: 100%
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 16 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Луч света, пущенный из точки M, зеркально отразившись от прямой AB в точке C, попал в точку N.
Докажите, что биссектриса угла MCN перпендикулярна прямой AB. (Угол падения равен углу отражения.)

Вниз   Решение


Два рыбака поймали 80 рыб, причём 5/9 улова первого составляли караси, а 7/11 улова второго – окуни. Сколько рыб поймал каждый из них?

ВверхВниз   Решение


Клетки доски 7×7 окрашены в шахматном порядке так, что углы окрашены в чёрный цвет. Разрешается перекрашивать в противоположный цвет любые две соседние клетки. Можно ли с помощью таких операций перекрасить всю доску в белый цвет?

ВверхВниз   Решение


Сколько целых чисел от 1 до 2001 имеют сумму цифр, делящуюся на 5?

ВверхВниз   Решение


На столе стоят семь стаканов – все вверх дном. За один ход можно перевернуть любые четыре стакана.
Можно ли за несколько ходов добиться того, чтобы все стаканы стояли правильно?

ВверхВниз   Решение


Через точку, не лежащую на данной прямой, проведите с помощью циркуля и линейки прямую, параллельную данной.

ВверхВниз   Решение


Докажите признак равенства прямоугольных треугольников по катету и противолежащему углу.

ВверхВниз   Решение


Окружность касается большего катета прямоугольного треугольника, проходит через вершину противолежащего острого угла и имеет центр на гипотенузе треугольника. Найдите радиус окружности, если катеты равны 5 и 12.

ВверхВниз   Решение


Докажите неравенство для положительных значений переменных:
+ .

ВверхВниз   Решение


Докажите, что середины всех хорд данной длины, проведённых в данной окружности, лежат на некоторой окружности.

ВверхВниз   Решение


В остроугольном треугольнике ABC угол A равен 60°. Докажите, что биссектриса одного из углов, образованных высотами, проведёнными из вершин B и C, проходит через центр описанной окружности этого треугольника.

ВверхВниз   Решение


Ванна заполняется холодной водой за 6 минут 40 секунд, горячей – за 8 минут. Кроме того, если из полной ванны вынуть пробку, вода вытечет за 13 минут 20 секунд. Сколько времени понадобится, чтобы наполнить ванну полностью, при условии, что открыты оба крана, но ванна не заткнута пробкой?

ВверхВниз   Решение


Кубик бросают трижды. Среди всех возможных последовательностей результатов есть такие, в которых хотя бы один раз встречается шестёрка. Сколько их?

ВверхВниз   Решение


Рассматриваются всевозможные треугольники с целочисленными сторонами и периметром 2000, а также всевозможные треугольники с целочисленными сторонами и периметром 2003. Каких треугольников больше?

ВверхВниз   Решение


Докажите неравенство для положительных значений переменных:   x² + y² + 1 ≥ xy + x + y.

ВверхВниз   Решение


Гипотенуза AB прямоугольного треугольника ABC равна 2 и является хордой некоторой окружности. Катет AC равен 1 и лежит внутри окружности, а его продолжение пересекает окружность в точке D, причём  CD = 3.  Найдите радиус окружности.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 110 111 112 113 114 115 116 >> [Всего задач: 6702]      



Задача 52439

Темы:   [ Прямоугольный треугольник с углом в 30 ]
[ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

Гипотенуза AB прямоугольного треугольника ABC равна 2 и является хордой некоторой окружности. Катет AC равен 1 и лежит внутри окружности, а его продолжение пересекает окружность в точке D, причём  CD = 3.  Найдите радиус окружности.

Прислать комментарий     Решение

Задача 52470

Темы:   [ Площадь четырехугольника ]
[ Медиана делит площадь пополам ]
[ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]
[ Вписанный четырехугольник с перпендикулярными диагоналями ]
[ Диаметр, основные свойства ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Четырехугольник ABCD, диагонали которого взаимно перпендикулярны, вписан в окружность с центром O.
Докажите, что ломаная AOC делит его на две равновеликие части.

Прислать комментарий     Решение

Задача 52492

Темы:   [ Вспомогательная окружность ]
[ Углы между биссектрисами ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ]
[ Ромбы. Признаки и свойства ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

В остроугольном треугольнике ABC угол A равен 60°. Докажите, что биссектриса одного из углов, образованных высотами, проведёнными из вершин B и C, проходит через центр описанной окружности этого треугольника.

Прислать комментарий     Решение

Задача 52514

Темы:   [ Угол между касательной и хордой ]
[ Вписанный угол равен половине центрального ]
[ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку K первой окружности проводятся прямые KA и KB, вторично пересекающие другую окружность в точках P и Q соответственно. Докажите, что хорда PQ окружности перпендикулярна диаметру KM первой окружности.

Прислать комментарий     Решение

Задача 52533

Темы:   [ Диаметр, хорды и секущие ]
[ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

Дана окружность с центром O. На продолжении хорды AB за точку B отложен отрезок BC, равный радиусу. Через точки C и O проведена секущая CD (D – точка пересечения с окружностью, лежащая вне отрезка CO). Докажите, что  ∠AOD = 3∠ACD.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 110 111 112 113 114 115 116 >> [Всего задач: 6702]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .