Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 14 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

На сколько частей делят пространство n плоскостей "общего положения"? И что это за "общее положение"?

Вниз   Решение


Каким линейным рекуррентным соотношениям удовлетворяют последовательности

a) an = n2;        б) an = n3?

ВверхВниз   Решение


Окружность, касающаяся сторон AC и BC треугольника ABC в точках M и N, касается также его описанной окружности (внутренним образом). Докажите, что середина отрезка MN совпадает с центром вписанной окружности треугольника ABC.

ВверхВниз   Решение


Одна из диагоналей вписанного в окружность четырёхугольника является диаметром.
Докажите, что проекции противоположных сторон на другую диагональ равны.

ВверхВниз   Решение


Докажите, что при a, b, c имеет место неравенство  

ВверхВниз   Решение


Докажите, что     при  x ≥ 0.

ВверхВниз   Решение


Точка O – центр вписанной окружности треугольника ABC. На сторонах AC и BC выбраны точки M и K соответственно так, что  BK·AB = BO²  и
AM·AB = AO².  Докажите, что точки M, O и K лежат на одной прямой.

ВверхВниз   Решение


Числовая функция  f такова, что для любых x и y выполняется равенство  f(x + y) = f(x) + f(y) + 80xy.  Найдите  f(1), если  f(0,25) = 2.

ВверхВниз   Решение


ABC - прямоугольный треугольник с прямым углом C. Докажите, что  ma2 + mb2 > 29r2.

ВверхВниз   Решение


Выпуклая фигура $ \Phi$ имеет площадь S и полупериметр p. Докажите, что если S > np для некоторого натурального n, то $ \Phi$ содержит по крайней мере n целочисленных точек.

ВверхВниз   Решение


Найдите формулу n-го члена для последовательностей, заданных условиями ( n $ \geqslant$ 0):

a) a0 = 0, a1 = 1, an + 2 = 4an + 1 - 5an;
б) a0 = 1, a1 = 2, an + 2 = 2an + 1 - 2an;
в) a0 = 1, a1 = 2, an + 2 + an + 1 + an = 0;
г) a0 = 1, a1 = 8, an + 2 = 6an + 1 + 25an.

ВверхВниз   Решение


В треугольнике ABC угол С в три раза больше угла A. На стороне AB взята такая точка D, что  BD = BC.  Найдите CD, если  AD = 4.

ВверхВниз   Решение


Сумма углов n-угольника. Докажите, что произвольный n-угольник (не обязательно выпуклый) можно разрезать на треугольники непересекающимися диагоналями. Выведите отсюда, что сумма углов в произвольном n-угольнике равна (n - 2)$ \pi$.

ВверхВниз   Решение


Через некоторую точку, взятую внутри треугольника, проведены три прямые, параллельные сторонам. Эти прямые разбивают треугольник на шесть частей, три из которых – треугольники с площадями S1, S2, S3. Найдите площадь S данного треугольника.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 132]      



Задача 109153

Темы:   [ Уравнения в целых числах ]
[ Разложение на множители ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Решить в целых числах уравнение  9x + 2 = (y + 1)y.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109172

Темы:   [ Замена переменных (прочее) ]
[ Выделение полного квадрата. Суммы квадратов ]
[ Многочлены (прочее) ]
[ Исследование квадратного трехчлена ]
Сложность: 3
Классы: 9,10

Дан многочлен  x(x + 1)(x + 2)(x + 3).  Найти его наименьшее значение.

Прислать комментарий     Решение

Задача 54972

Темы:   [ Отношения линейных элементов подобных треугольников ]
[ Признаки и свойства параллелограмма ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Через некоторую точку, взятую внутри треугольника, проведены три прямые, параллельные сторонам. Эти прямые разбивают треугольник на шесть частей, три из которых – треугольники с площадями S1, S2, S3. Найдите площадь S данного треугольника.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60698

Темы:   [ Арифметика остатков (прочее) ]
[ Малая теорема Ферма ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Целые числа a, b и c таковы, что  a³ + b³ + c³  делится на 7. Докажите, что abc делится на 7.

Прислать комментарий     Решение

Задача 76532

Тема:   [ Турниры и турнирные таблицы ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

В шахматном турнире участвовали ученики 9 и 10 классов. Десятиклассников было в 10 раз больше, чем девятиклассников, и они набрали вместе в 4,5 раза больше очков, чем все девятиклассники. Сколько очков набрали девятиклассники?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 132]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .