Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 3 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи

Четыре дома расположены по окружности. Где надо вырыть колодец, чтобы сумма расстояний от домов до колодца была наименьшей?

Вниз   Решение


Петя и Вася выписывают 12-значное число, ставя цифры по очереди, начиная со старшего разряда. Начинает Петя.

Докажите, что какие бы цифры он не писал, Вася всегда сможет добиться, чтобы получившееся число делилось на 9.

ВверхВниз   Решение


Две окружности имеют радиусы R1 и R2, а расстояние между их центрами равно d. Докажите, что эти окружности ортогональны тогда и только тогда, когда  d2 = R12 + R22.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 86]      



Задача 56703  (#03.045)

Тема:   [ Окружности, вписанные в сегмент ]
Сложность: 6
Классы: 8,9

Окружность, касающаяся сторон AC и BC треугольника ABC в точках M и N, касается также его описанной окружности (внутренним образом). Докажите, что середина отрезка MN совпадает с центром вписанной окружности треугольника ABC.
Прислать комментарий     Решение


Задача 56704  (#03.046)

Тема:   [ Окружности, вписанные в сегмент ]
Сложность: 7
Классы: 8,9

Треугольники ABC1 и ABC2 вписаны в окружность S, причем хорды AC2 и BC1 пересекаются. Окружность S1 касается хорды AC2 в точке M2, хорды BC1 в точке N1 и окружности S. Докажите, что центры вписанных окружностей треугольников ABC1 и ABC2 лежат на отрезке M2N1.
Прислать комментарий     Решение


Задача 56705  (#03.047B)

Тема:   [ Окружности, вписанные в сегмент ]
Сложность: 8
Классы: 9,10

На стороне BC треугольника ABC взята точка D. Окружность S1 касается отрезков BE и EA и описанной окружности, окружность S2 касается отрезков CE и EA и описанной окружности. Пусть I, I1, I2 и r, r1, r2 -- центры и радиусы вписанной окружности и окружностей S1, S2; $ \varphi$ = $ \angle$ADB. Докажите, что точка I лежит на отрезке I1I2, причём I1I : II2 = tg2$ {\frac{\varphi }{2}}$. Докажите также, что r = r1cos2$ {\frac{\varphi }{2}}$ + r2sin2$ {\frac{\varphi }{2}}$ (Тебо).
Прислать комментарий     Решение


Задача 56706  (#03.047B1)

Тема:   [ Окружности, вписанные в сегмент ]
Сложность: 7+
Классы: 9,10

Четырехугольник ABCD вписанный. Пусть ra, rb, rc, rd — радиусы вписанных окружностей треугольников BCD, ACD, ABD, ABC. Докажите, что ra + rc = rb + rd.
Прислать комментарий     Решение


Задача 56707  (#03.047)

Тема:   [ Окружности (прочее) ]
Сложность: 2
Классы: 8,9

Две окружности имеют радиусы R1 и R2, а расстояние между их центрами равно d. Докажите, что эти окружности ортогональны тогда и только тогда, когда  d2 = R12 + R22.
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 86]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .