Страница: << 12 13 14 15 16 17 18 >> [Всего задач: 86]
Задача
56728
(#03.065)
|
|
Сложность: 6
Классы: 9
|
а) В треугольнике ABC проведены высоты AA1, BB1
и CC1. Прямые AB и A1B1, BC и B1C1, CA и C1A1
пересекаются в точках C', A' и B'. Докажите, что точки A', B'
и C' лежат на радикальной оси окружности девяти
точек и описанной окружности.
б) Биссектрисы внешних углов треугольника ABC пересекают
продолжения противоположных сторон в точках A', B'
и C'. Докажите, что точки A', B' и C' лежат на одной
прямой, причем эта прямая перпендикулярна прямой, соединяющей
центры вписанной и описанной окружностей треугольника ABC.
Задача
56729
(#03.066)
[Теорема Брианшона]
|
|
Сложность: 6
Классы: 8,9,10
|
Докажите, что диагонали AD, BE и CF описанного
шестиугольника ABCDEF пересекаются в одной точке (Брианшон).
Задача
56730
(#03.067)
|
|
Сложность: 6
Классы: 9
|
Даны четыре окружности
S1, S2, S3 и S4, причем
окружности Si и Si + 1 касаются внешним образом для i = 1, 2, 3, 4
(S5 = S1). Докажите, что радикальная ось окружностей S1
и S3 проходит через точку пересечения общих внешних касательных
к S2 и S4.
Задача
56731
(#03.068)
|
|
Сложность: 6
Классы: 9
|
а) Окружности S1 и S2 пересекаются в точках A
и B. Степень точки P окружности S1 относительно окружности S2
равна p, расстояние от точки P до прямой AB равно h, а
расстояние между центрами окружностей равно d. Докажите,
что | p| = 2dh.
б) Степени точек A и B относительно описанных окружностей
треугольников BCD и ACD равны pa и pb. Докажите,
что
| pa| SBCD = | pb| SACD.
Задача
56732
(#03.070B)
|
|
Сложность: 5
Классы: 9
|
а) Докажите, что пучок окружностей полностью задаётся парой окружностей.
б) Докажите, что пучок окружностей полностью задаётся одной окружностью и
радикальной осью.
Страница: << 12 13 14 15 16 17 18 >> [Всего задач: 86]
Фильтр
