В выпуклой n-угольной призме равны все боковые грани. При каких n эта призма обязательно прямая?

   Решение

Докажите, что  cos²(/2) = p(p - a)/bc и  sin²(/2) = (p - b)(p - c)/bc.

   Решение

На 2016 красных и 2016 синих карточках написаны положительные числа, все они различны. Известно, что на карточках какого-то одного цвета написаны попарные суммы каких-то 64 чисел, а на карточках другого цвета – попарные произведения тех же 64 чисел. Всегда ли можно определить, на карточках какого цвета написаны попарные суммы?

   Решение

Можно ли в прямоугольной таблице 5×10 так расставить числа, чтобы сумма чисел каждой строки равнялась бы 30, а сумма чисел каждого столбца равнялась бы 10?

   Решение

Существуют ли такие натуральные n и k, что десятичная запись числа 2ⁿ начинается числом 5^k, а десятичная запись числа 5ⁿ начинается числом 2^k?

   Решение

Пусть  f(x) = (x – a)(x – b)(x – c)  – многочлен третьей степени с комплексными корнями a, b, c.
Докажите, что корни производной этого многочлена лежат внутри треугольника с вершинами в точках a, b, c.

   Решение

На сторонах AB и CD четырехугольника ABCD взяты точки M и N так, что  AM : MB = CN : ND. Отрезки AN и DM пересекаются в точке K, а отрезки BN и CM — в точке L. Докажите, что  S_KMLN = S_ADK + S_BCL.

   Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 69]      

Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке P, причем  S_ABP² + S_CDP² = S_BCP² + S_ADP². Докажите, что P — середина одной из диагоналей.

Прислать комментарий

Решение

В выпуклом четырехугольнике ABCD существуют три внутренние точки  P₁, P₂, P₃, не лежащие на одной прямой и обладающие тем свойством, что сумма площадей треугольников ABP_i и CDP_i равна сумме площадей треугольников BCP_i и ADP_i для i = 1, 2, 3. Докажите, что ABCD — параллелограмм.

Прислать комментарий

Решение

Пусть K, L, M, N – середины сторон AB, BC, CD, AD выпуклого четырёхугольника ABCD; отрезки KM и LN пересекаются в точке O.
Докажите, что   S_AKON + S_CLOM = S_BKOL + S_DNOM.

Прислать комментарий

Решение

Точки K, L, M и N лежат на сторонах AB, BC, CD и DA параллелограмма ABCD, причем отрезки KM и LN параллельны сторонам параллелограмма. Эти отрезки пересекаются в точке O. Докажите, что площади параллелограммов KBLO и MDNO равны тогда и только тогда, когда точка O лежит на диагонали AC.

Прислать комментарий

Решение

На сторонах AB и CD четырехугольника ABCD взяты точки M и N так, что  AM : MB = CN : ND. Отрезки AN и DM пересекаются в точке K, а отрезки BN и CM — в точке L. Докажите, что  S_KMLN = S_ADK + S_BCL.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 69]