Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]

Задача 56786

Темы:	[	Прямые и кривые, делящие фигуры на равновеликие части	]
	[	Четырехугольник: вычисления, метрические соотношения.	]
	[	Отношение площадей подобных треугольников	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Отрезок MN, параллельный стороне CD четырехугольника ABCD, делит его площадь пополам (точки M и N лежат на сторонах BC и AD). Длины отрезков, проведенных из точек A и B параллельно CD до пересечения с прямыми BC и AD, равны a и b. Докажите, что MN² = (ab + c²)/2, где c = CD.

Прислать комментарий Решение

Задача 56787

Темы:	[	Прямые и кривые, делящие фигуры на равновеликие части	]
	[	Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита	]
	[	Неравенства с площадями	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Каждая из трех прямых делит площадь фигуры пополам. Докажите, что часть фигуры, заключенная внутри треугольника, образованного этими прямыми, имеет площадь, не превосходящую 1/4 площади всей фигуры.

Прислать комментарий Решение

Задача 56790

Темы:	[	Прямые и кривые, делящие фигуры на равновеликие части	]
	[	Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита	]
	[	Вписанные и описанные многоугольники	]
	[	Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности)	]
	[	Периметр треугольника	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Ионин Ю.И.

а) Докажите, что любая прямая, делящая пополам площадь и периметр треугольника, проходит через центр вписанной окружности.
б) Докажите аналогичное утверждение для любого описанного многоугольника.

Прислать комментарий

Решение

Задача 56788

Темы:	[	Прямые и кривые, делящие фигуры на равновеликие части	]
	[	Неравенства с площадями	]
	[	Площадь трапеции	]
	[	Ортогональная (прямоугольная) проекция	]
	[	Площадь. Одна фигура лежит внутри другой	]
	[	Квадратные неравенства и системы неравенств	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9,10

Прямая l делит площадь выпуклого многоугольника пополам. Докажите, что эта прямая делит проекцию данного многоугольника на прямую, перпендикулярную l, в отношении, не превосходящем 1 + .

Прислать комментарий

Решение

Задача 56789

Темы:	[	Прямые и кривые, делящие фигуры на равновеликие части	]
	[	Соображения непрерывности	]
	[	Поворот помогает решить задачу	]
	[	Теорема о промежуточном значении. Связность	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Докажите, что любой выпуклый многоугольник можно разрезать двумя взаимно перпендикулярными прямыми на четыре фигуры равной площади.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]