Все источники
>>
Книги, журналы
>>
Прасолов В.В., Задачи по планиметрии
>>
глава 5. Треугольники
>>
параграф 13. Точка Лемуана
Фильтр
Выбрано 12 задач Убрать все задачи
С помощью циркуля и линейки постройте квадрат, три вершины которого лежали бы на трёх данных параллельных прямых.
В трапеции ABCD биссектрисы углов A и D пересекаются в точке E, лежащей на боковой стороне BC. Эти биссектрисы разбивают трапецию на три треугольника, в которые вписали окружности. Одна из этих окружностей касается основания AB в точке K, а две другие касаются биссектрисы DE в точках M и N. Докажите, что BK = MN.
На плоскости даны точки A1 , A2 , An и точки B1 ,
B2 , Bn . Докажите, что точки Bi можно
перенумеровать так, что для всех i j
угол между векторами
и
– острый или прямой.
Точки A1, B1, C1 выбраны на сторонах BC, CA и AB треугольника ABC соответственно. Оказалось, что AB1 – AC1 = CA1 – CB1 = BC1 – BA1. Пусть OA, OB и OC – центры описанных окружностей треугольников AB1C1, A1BC1 и A1B1C. Докажите, что центр вписанной окружности треугольника OAOBOC совпадает с центром вписанной окружности треугольника ABC.
2000 яблок лежат в нескольких корзинах. Разрешается убирать корзины и
вынимать яблоки из корзин.
Доказать, что можно добиться того, чтобы во всех оставшихся корзинах было поровну яблок, а общее число яблок было не меньше 100.
Доказать, что 1·2·3 + 2·3·4 + ... + 98·99·100 ≠ 19891988.
Из 54 красных и 54 белых брусков 1×1×2 сложили куб 6×6×6.
Какое наибольшее количество красных клеточек могло оказаться на поверхности куба?
Город представляет собой бесконечную клетчатую плоскость (линии – улицы, клеточки – кварталы). На одной улице через каждые 100 кварталов на перекрестках стоит по милиционеру. Где-то в городе есть бандит (местонахождение его неизвестно, но перемещается он только по улицам). Цель милиции – увидеть бандита. Есть ли у милиции способ (алгоритм) наверняка достигнуть своей цели? (Максимальные скорости милиции и бандита какие-то конечные, но не известные нам величины, милиция видит вдоль улиц во все стороны на бесконечное расстояние.)
В выпуклом четырёхугольнике ABCD нет параллельных сторон. Углы, образованные сторонами четырёхугольника с диагональю AC, равны (в каком-то порядке) 16°, 19°, 55° и 55°. Каким может быть острый угол между диагоналями AC и BD?
Существуют ли такие натуральные числа a, b, c, d, что a/b + c/d = 1, a/d + c/b = 2008?
Алфавит племени Мумбо-Юмбо состоит из трёх букв. Словом является любая последовательность, состоящая не более чем из четырёх букв.
Сколько слов в языке племени Мумбо-Юмбо?
Докажите, что точка Лемуана треугольника ABC
с прямым углом C является серединой высоты CH.
Задачи Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 17]
Задача 56983 |
|
|
Касательные к описанной окружности треугольника ABC
в точках B и C пересекаются в точке P. Докажите, что прямая AP
содержит симедиану AS.
|
|
Решение |
Задача 56984 |
|
|
Окружность S1 проходит через точки A и B и
касается прямой AC, окружность S2 проходит через точки A и C и
касается прямой AB. Докажите, что общая хорда этих окружностей
является симедианой треугольника ABC.
|
|
|
Решение |
Задача 56985 |
|
|
Биссектрисы внешнего и внутреннего углов при вершине A
треугольника ABC пересекают прямую BC в точках D и E.
Окружность с диаметром DE пересекает описанную окружность
треугольника ABC в точках A и X. Докажите, что AX — симедиана треугольника ABC.
|
|
|
Решение |
Задача 56986 |
|
|
Докажите, что точка Лемуана треугольника ABC
с прямым углом C является серединой высоты CH.
|
|
Решение |
Задача 56987 |
|
|
Через точку X, лежащую внутри треугольника ABC,
проведены три отрезка, антипараллельных его сторонам. Докажите, что эти
отрезки равны тогда и только тогда, когда X — точка Лемуана.
|
|
|
Решение |
Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 17]
