Все источники
>>
Книги, журналы
>>
Прасолов В.В., Задачи по планиметрии
>>
глава 7. Геометрические места точек
- Вводные задачи (5 задач)
- параграф 1. ГМТ - прямая или отрезок (10 задач)
- параграф 2. ГМТ - окружность или дуга окружности (8 задач)
- параграф 3. Вписанный угол (5 задач)
- параграф 4. Вспомогательные равные треугольники (3 задачи)
- параграф 5. Гомотетия (4 задачи)
- параграф 6. Метод ГМТ (6 задач)
- параграф 7. ГМТ с ненулевой площадью (4 задачи)
- параграф 8. Теорема Карно (8 задач)
- параграф 9. Окружность Ферма-Аполлония (3 задачи)
Фильтр
Выбрано 14 задач Убрать все задачи
Велосипедист путешествует по кольцевой дороге, двигаясь в одном направлении. Каждый день он проезжает 71 км и останавливается ночевать на обочине. На дороге есть аномальная зона длины 71 км. Если велосипедист останавливается в ней на ночлег на расстоянии y км от одной границы зоны, просыпается он в противоположном месте зоны, на расстоянии y км от другой её границы. Докажите, что в каком бы месте велосипедист ни начал своё путешествие, рано или поздно он остановится в нём на ночлег или же в нём проснётся.
Некоторый алфавит состоит из 6 букв, которые для передачи по телеграфу кодированы так:
У Васи есть 100 банковских карточек. Вася знает, что на одной из карточек лежит 1 рубль, на другой – 2 рубля, и так далее, на последней – 100 рублей, но не знает, на какой из карточек сколько денег. Вася может вставить карточку в банкомат и запросить некоторую сумму. Банкомат выдает требуемую сумму, если она на карточке есть, не выдает ничего, если таких денег на карточке нет, а карточку съедает в любом случае. При этом банкомат не показывает, сколько денег было на карточке. Какую наибольшую сумму Вася может гарантированно получить?
Существуют ли такие попарно различные натуральные числа m, n, p, q, что m + n = p + q и
В клетках квадрата 5×5 изначально были записаны нули. Каждую минуту Вася выбирал две клетки с общей стороной и либо прибавлял по единице к числам в них, либо вычитал из них по единице. Через некоторое время оказалось, что суммы чисел во всех строках и столбцах равны. Докажите, что это произошло через чётное число минут.
По кругу расставлено несколько коробочек. В каждой из них может лежать один или несколько шариков (или она может быть пустой). За один ход разрешается взять все шарики из любой коробочки и разложить их, двигаясь по часовой стрелке, начиная со следующей коробочки, кладя в каждую коробочку по одному шарику.
а) Докажите, что если на каждом следующем ходе шарики берут из той коробочки, в которую попал последний шарик на предыдущем ходе, то в какой-то момент повторится начальное размещение шариков.
б) Докажите, что за несколько ходов из любого начального размещения шариков по коробочкам можно получить любое другое.
Окружность Ω1 проходит через центр окружности Ω2. Из точки C, лежащей на Ω1, проведены касательные к Ω2, вторично пересекающие Ω1 в точках A и B. Докажите, что отрезок AB перпендикулярен линии центров окружностей.
Докажите, что не существует многочлена степени не ниже двух с целыми неотрицательными коэффициентами, значение которого при любом простом p является простым числом.
Пусть AL – биссектриса треугольника ABC, O – центр описанной около этого треугольника окружности, D – такая точка на стороне AC, что AD = AB. Докажите, что прямые AO и LD перпендикулярны.
В выпуклом пятиугольнике проведены все диагонали. Каждая вершина и каждая точка пересечения диагоналей окрашены в синий цвет. Вася хочет перекрасить эти синие точки в красный цвет. За одну операцию ему разрешается поменять цвет всех окрашенных точек, принадлежащих либо одной из сторон либо одной из диагоналей на противоположный (синие точки становятся красными, а красные – синими). Сможет ли он добиться желаемого, выполнив какое-то количество описанных операций?
Дан выпуклый шестиугольник P1P2P3P4P5P6, все стороны которого равны. Каждую его вершину отразили симметрично относительно прямой, проходящей через две соседние вершины. Полученные точки обозначили через Q1, Q2, Q3, Q4, Q5 и Q6 соответственно. Докажите, что треугольники Q1Q3Q5 и Q2Q4Q6 равны.
Сторону АВ треугольника АВС продолжили за вершину В и выбрали на луче АВ точку А1 так, что точка В – середина отрезка АА1 . Сторону ВС продолжили за вершину С и отметили на продолжении точку В1 так, что С – середина ВВ1 . Аналогично, продолжили сторону СА за вершину А и отметили на продолжении точку С1 так, что А – середина СС1 . Найдите площадь треугольника А1В1С1 , если площадь треугольника АВС равна1.
Дано натуральное число n > 1. Для каждого делителя d числа n + 1, Петя разделил число n на d с остатком и записал на доску неполное частное, а в тетрадь – остаток. Докажите, что наборы чисел на доске и в тетради совпадают.
Пусть AD и AE — биссектрисы внутреннего и внешнего
углов треугольника ABC и Sa — окружность с диаметром DE,
окружности Sb и Sc определяются аналогично. Докажите, что:
а) окружности Sa, Sb и Sc имеют две общие точки M и N,
причем прямая MN проходит через центр описанной окружности
треугольника ABC;
б) проекции точки M (и точки N) на стороны треугольника ABC
образуют правильный треугольник.
Задачи Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 56]
Задача 57144 (#07.016) |
|
|
Пусть AD и AE — биссектрисы внутреннего и внешнего
углов треугольника ABC и Sa — окружность с диаметром DE,
окружности Sb и Sc определяются аналогично. Докажите, что:
а) окружности Sa, Sb и Sc имеют две общие точки M и N,
причем прямая MN проходит через центр описанной окружности
треугольника ABC;
б) проекции точки M (и точки N) на стороны треугольника ABC
образуют правильный треугольник.
|
|
Решение |
Задача 57145 (#07.016B) |
|
|
Докажите, что изодинамические центры лежат на прямой KO, где O — центр
описанной окружности, K — точка Лемуана.
|
|
Решение |
Задача 57146 (#07.017) |
|
|
Треугольник ABC правильный, M — некоторая точка.
Докажите, что если числа AM, BM и CM образуют геометрическую
прогрессию, то знаменатель этой прогрессии меньше 2.
|
|
|
Решение |
Задача 57147 (#07.018) |
|
|
На окружности фиксированы точки A и B, а точка C
перемещается по этой окружности. Найдите множество точек пересечения:
а) высот; б) биссектрис треугольников ABC.
|
|
|
Решение |
Задача 57148 (#07.019) |
|
|
Точка P перемещается по описанной окружности
квадрата ABCD. Прямые AP и BD пересекаются в точке Q, а прямая,
проходящая через точку Q параллельно AC, пересекает прямую BP в
точке X. Найдите ГМТ X.
|
|
|
Решение |
Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 56]
