Пусть движение плоскости переводит фигуру F в фигуру F'. Для каждой пары соответственных точек A и A' рассмотрим середину X отрезка AA'. Докажите, что либо все точки X совпадают, либо все они лежат на одной прямой, либо образуют фигуру, подобную F.

   Решение

Шестиугольник ABCDEF вписан в окружность радиуса R, причем AB = CD = EF = R. Докажите, что середины сторон BC, DE и FA образуют правильный треугольник.

   Решение

Правильные треугольники ABC, CDE, EHK (вершины обходятся в направлении против часовой стрелки) расположены на плоскости так, что = . Докажите, что треугольник BHD тоже правильный.

   Решение

Доказать, что  2^2n–1 + 3n + 4  делится на 9 при любом n.

   Решение

а)  sin + sin + sin 3/2;
б)  cos(/2) + cos(/2) + cos(/2) 3/2.

   Решение

Несколько кругов одного радиуса положили на стол так, что никакие два не перекрываются. Докажите, что круги можно раскрасить в четыре цвета так, что любые два касающихся круга будут разного цвета.

   Решение

Докажите, что композицию чётного числа симметрий относительно прямых нельзя представить в виде композиции нечётного числа симметрий относительно прямых.

   Решение

Триангуляцией многоугольника называют его разбиение на треугольники, обладающее тем свойством, что эти треугольники либо имеют общую сторону, либо имеют общую вершину, либо не имеют общих точек (т. е. вершина одного треугольника не может лежать на стороне другого). Докажите, что треугольники триангуляции можно раскрасить в три цвета так, что имеющие общую сторону треугольники будут разного цвета.

   Решение

Докажите, что любое движение плоскости является композицией не более чем трех симметрий относительно прямых.

   Решение

Докажите, что для любого натурального n  10ⁿ + 18n – 1  делится на 27.

   Решение

Каждая из трех прямых делит площадь фигуры пополам. Докажите, что часть фигуры, заключенная внутри треугольника, образованного этими прямыми, имеет площадь, не превосходящую 1/4 площади всей фигуры.

   Решение

Даны три прямые a, b, c. Пусть T = S_aoS_boS_c. Докажите, что ToT — параллельный перенос (или тождественное отображение).

   Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 46]      

а) Прямые l₁ и l₂ параллельны. Докажите, что S_l1oS_l2 = T_2a, где  T_a — параллельный перенос, переводящий l₁ в l₂, причем a l₁.
б) Прямые l₁ и l₂ пересекаются в точке O. Докажите, что S_l2oS_l1 = R²_O, где  R_O — поворот, переводящий l₁ в l₂.

Прислать комментарий

Решение

Даны три прямые a, b, c. Докажите, что композиция симметрий S_coS_boS_a является симметрией относительно некоторой прямой тогда и только тогда, когда данные прямые пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Даны три прямые a, b, c. Пусть T = S_aoS_boS_c. Докажите, что ToT — параллельный перенос (или тождественное отображение).

Прислать комментарий

Решение

Пусть l₃ = S_l1(l₂). Докажите, что S_l3 = S_l1oS_l2oS_l1.

Прислать комментарий

Решение

Вписанная окружность касается сторон треугольника ABC в точках A₁, B₁ и C₁; точки A₂, B₂ и C₂ симметричны этим точкам относительно биссектрис соответствующих углов треугольника. Докажите, что  A₂B₂ || AB  и прямые AA₂, BB₂ и CC₂ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 46]