Processing math: 100%
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 8 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Докажите, что прямые, соединяющие противоположные точки касания описанного четырехугольника, проходят через точку пересечения диагоналей.

Вниз   Решение


Каждая из трех прямых делит площадь фигуры пополам. Докажите, что часть фигуры, заключенная внутри треугольника, образованного этими прямыми, имеет площадь, не превосходящую 1/4 площади всей фигуры.

ВверхВниз   Решение


В выпуклом четырехугольнике ABCD существуют три внутренние точки  P1, P2, P3, не лежащие на одной прямой и обладающие тем свойством, что сумма площадей треугольников ABPi и CDPi равна сумме площадей треугольников BCPi и ADPi для i = 1, 2, 3. Докажите, что ABCD — параллелограмм.

ВверхВниз   Решение


α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что
а)  cos($ \alpha$/2)sin($ \beta$/2)sin($ \gamma$/2) = (p - a)/4R;
б)  sin($ \alpha$/2)cos($ \beta$/2)cos($ \gamma$/2) = ra/4R.

ВверхВниз   Решение


Даны две пересекающиеся окружности радиуса R, причем расстояние между их центрами больше R. Докажите, что  β = 3α (рис.).


ВверхВниз   Решение


а) Докажите, что площадь выпуклого четырехугольника ABCD вычисляется по формуле

S2 = (p - a)(p - b)(p - c)(p - d )- abcd cos2((B + D)/2),

где p — полупериметр, a, b, c, d — длины сторон.
б) Докажите, что если четырехугольник ABCD вписанный, то  S2 = (p - a)(p - b)(p - c)(p - d ).
в) Докажите, что если четырехугольник ABCD описанный, то  S2 = abcd sin2((B + D)/2).

ВверхВниз   Решение


Докажите, что если  $ {\frac{1}{b}}$ + $ {\frac{1}{c}}$ = $ {\frac{1}{l_a}}$, то  $ \angle$A = 120o.

ВверхВниз   Решение


В треугольнике ABC проведены медиана CM и высота CH. Прямые, проведенные через произвольную точку P плоскости перпендикулярно CA, CM и CB, пересекают прямую CH в точках A1, M1 и B1. Докажите, что A1M1 = B1M1.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      



Задача 57923

Темы:   [ Поворот на 90 ]
[ Поворот помогает решить задачу ]
[ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
[ Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

На сторонах CB и CD квадрата ABCD взяты точки M и K так, что периметр треугольника CMK равен удвоенной стороне квадрата.
Найдите величину угла MAK.

Прислать комментарий     Решение

Задача 57919

Темы:   [ Поворот на 90 ]
[ Поворот помогает решить задачу ]
[ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

На сторонах BC и CD квадрата ABCD взяты точки M и K соответственно, причем $ \angle$BAM = $ \angle$MAK. Докажите, что BM + KD = AK.
Прислать комментарий     Решение


Задача 57920

Темы:   [ Поворот на 90 ]
[ Поворот помогает решить задачу ]
[ Взаимное расположение высот, медиан, биссектрис и проч. ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

В треугольнике ABC проведены медиана CM и высота CH. Прямые, проведенные через произвольную точку P плоскости перпендикулярно CA, CM и CB, пересекают прямую CH в точках A1, M1 и B1. Докажите, что A1M1 = B1M1.
Прислать комментарий     Решение


Задача 57921

Темы:   [ Поворот на 90 ]
[ Поворот помогает решить задачу ]
[ Взаимное расположение высот, медиан, биссектрис и проч. ]
[ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

Два квадрата BCDA и BKMN имеют общую вершину B. Докажите, что медиана BE треугольника ABK и высота BF треугольника CBN лежат на одной прямой. (Вершины обоих квадратов перечислены по часовой стрелке.)
Прислать комментарий     Решение


Задача 57924

Темы:   [ Поворот на 90 ]
[ Поворот помогает решить задачу ]
[ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

На плоскости даны три (одинаково ориентированных) квадрата: ABCD, AB1C1D1 и  A2B2CD2; первый квадрат имеет с двумя другими общие вершины A и C. Докажите, что медиана BM треугольника BB1B2 перпендикулярна отрезку D1D2.
Прислать комментарий     Решение


Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .