Все источники
>>
Книги, журналы
>>
Прасолов В.В., Задачи по планиметрии
>>
глава 18. Поворот
>>
параграф 3. Повороты на произвольные углы
Фильтр
Выбрано 12 задач Убрать все задачи
а) Докажите, что высоты треугольника пересекаются в одной точке.
б) Пусть H – точка пересечения высот треугольника ABC, R – радиус описанной окружности. Докажите, что AH² + BC² = 4R² и AH = BC |ctg α|.
Дан выпуклый пятиугольник, все углы которого тупые. Докажите,
что в нем найдутся две такие диагонали, что круги, построенные
на них как на диаметрах, полностью покроют весь пятиугольник.
Точки А, В и С лежат на прямой m, а точки D и Е на ней не лежат. Известно, что AD = AE и BD = BE. Докажите, что CD = CE.
Прожектор освещает угол величиной
90o. Докажите, что в
любых четырех заданных точках можно разместить 4 прожектора так,
что они осветят всю плоскость.
Пусть p(n) – количество разбиений числа n
(определение разбиений смотри здесь). Докажите равенства:
(По определению считается, что p(0) = 1.)
а) Докажите, что площадь четырехугольника, образованного серединами
сторон выпуклого четырехугольника ABCD, равна половине площади ABCD.
б) Докажите, что если диагонали выпуклого четырехугольника равны,
то его площадь равна произведению длин отрезков, соединяющих середины
противоположных сторон.
Внутри треугольника ABC взята произвольная точка O и построены точки A1, B1 и C1, симметричные O относительно середин сторон BC, CA и AB. Докажите, что треугольники ABC и A1B1C1 равны и прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке.
Разрежьте круг на несколько равных частей так, чтобы центр круга не лежал на границе хотя бы одной из них.
На бирже Цветочного города 1 лимон и 1 банан можно обменять на 2 апельсина и 23 вишни, а 3 лимона – на 2 банана, 2 апельсина и 14 вишен. Что дороже: лимон или банан?
На стороне AC треугольника ABC взята точка E. Через точку E
проведены прямая DE параллельно стороне BC и прямая EF параллельно
стороне AB (D и E — точки соответственно на этих сторонах).
Докажите, что
SBDEF = 2.
На плоскости дана замкнутая ломаная с конечным числом звеньев. Прямая l пересекает её ровно в 1985 точках.
Докажите, что существует прямая, пересекающая эту ломаную более чем в 1985 точках.
Даны точки A и B и окружность S. Постройте
на окружности S такие точки C и D, что AC| BD и дуга
CD имеет данную величину .
Задачи Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 11]
Задача 57944 |
|
|
Докажите, что при повороте на угол с центром в начале координат точка
с координатами (x, y) переходит в точку
|
|
Решение |
Задача 57945 |
|
|
Даны точки A и B и окружность S. Постройте
на окружности S такие точки C и D, что AC| BD и дуга
CD имеет данную величину .
|
|
Решение |
Задача 57946 |
|
|
Поворот с центром O переводит прямую l1 в прямую l2, а точку A1, лежащую на прямой l1, — в точку A2.
Докажите, что точка пересечения прямых l1 и l2 лежит на
описанной окружности треугольника A1OA2.
|
|
|
Решение |
Задача 57947 |
|
|
На плоскости лежат две одинаковые буквы .
Концы коротких палочек этих букв обозначим A и A'.
Длинные палочки разбиты на n равных частей точками
A1,..., An - 1;
A1',..., An - 1' (точки деления
нумеруются от концов длинных палочек). Прямые AAi и A'Ai'
пересекаются в точке Xi. Докажите, что точки
X1,..., Xn - 1
образуют выпуклый многоугольник.
|
|
|
Решение |
Задача 57948 |
|
|
По двум прямым, пересекающимся в точке P,
равномерно с одинаковой скоростью движутся две точки:
по одной прямой — точка A, по другой — точка B. Через
точку P они проходят не одновременно. Докажите, что
в любой момент времени описанная окружность треугольника
ABP проходит через некоторую фиксированную точку, отличную от P.
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 11]
