Все источники
>>
Книги, журналы
>>
Прасолов В.В., Задачи по планиметрии
>>
глава 29. Аффинные преобразования
>>
параграф 3. Комплексные числа
Фильтр
Выбрано 14 задач Убрать все задачи
На сторонах AB и AC равностороннего треугольника ABC
выбраны точки P и R соответственно так, что AP = CR. Точка M – середина отрезка PR.
Докажите, что BR = 2AM .
Натуральное число n называется хорошим, если после приписывания его справа к любому натуральному числу получается число, делящееся на n. Запишите десять хороших чисел, которые меньше чем 1000.
Дана квадратная сетка на плоскости и треугольник с
вершинами в узлах сетки. Докажите, что тангенс любого угла в
треугольнике — число рациональное.
Две окружности касаются друг друга внешним образом и третьей изнутри. Проводятся внешняя и внутренняя общие касательные к первым двум окружностям. Доказать, что внутренняя касательная делит пополам дугу, отсекаемую внешней касательной на третьей окружности.
Две окружности касаются внутренним образом в точке M. Пусть AB — хорда большей окружности, касающаяся меньшей окружности в точке T. Докажите, что MT — биссектриса угла AMB.
а) На параллельных прямых a и b даны точки A и B.
Проведите через данную точку C прямую l, пересекающую прямые a
и b в таких точках A1 и B1, что AA1 = BB1.
б) Проведите через точку C прямую, равноудаленную от данных точек A
и B.
Даны треугольник XYZ и выпуклый шестиугольник ABCDEF. Стороны AB, CD и EF параллельны и равны соответственно сторонам XY, YZ и ZX. Докажите, что площадь треугольника с вершинами в серединах сторон BC, DE и FA не меньше площади треугольника XYZ.
Доказать, что если a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ ... ≤ a10, то 1/6 (a1 + ... + a6) ≤ 1/10 (a1 + ... + a10).
Дана трапеция ABCD, в которой BC = a, AD = b. Параллельно основаниям BC и AD проведена прямая, пересекающая сторону AB в точке P, диагональ AC в точке L, диагональ BD в точке R и сторону CD в точке Q. Известно, что PL = LR. Найдите PQ.
Через центр окружности ω 1 проведена окружность ω 2; A и B — точки пересечения окружностей. Касательная к окружности ω 2 в точке B пересекает окружность ω 1 в точке C. Докажите, что AB = BC.
Детектив Ниро Вульф расследует преступление. В деле замешаны 80 человек, среди которых один – преступник, еще один – свидетель преступления (но неизвестно, кто это). Каждый день детектив может пригласить к себе одного или нескольких из этих 80 человек, и если среди приглашенных есть свидетель, но нет преступника, то свидетель сообщит, кто преступник. Может ли детектив заведомо раскрыть дело за 12 дней?
Докажите, что хорды, удалённые от центра окружности на равные расстояния, равны.
С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по данным серединам двух его сторон и прямой, на которой лежит биссектриса, проведённая к одной из этих сторон.
а) Докажите, что все окружности и прямые задаются уравнениями вида
б) Докажите, что при инверсии окружности и прямые переходят в окружности и прямые.
Задачи Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 22]
Задача 58390 |
|
|
Пусть a, b и c — комплексные числа, лежащие на единичной окружности с
центром в нуле. Докажите, что комплексное число
(a + b + c -
bc)
соответствует основанию высоты, опущенной из вершины a на сторону bc.
|
|
Решение |
Задача 58391 |
|
|
Докажите, что прямая, проходящая через точки a1 и a2, задаётся уравнением
|
|
|
Решение |
Задача 58392 |
|
|
а) Докажите, что все окружности и прямые задаются уравнениями вида
б) Докажите, что при инверсии окружности и прямые переходят в окружности и прямые.
|
|
Решение |
Задача 58393 |
|
|
а) Пусть
=
+
. Докажите, что точки a, b,
c являются вершинами правильного треугольника тогда и только тогда, когда
a +
b +
c = 0 или
a +
b +
c = 0.
б) Докажите, что точки a, b, c являются вершинами правильного
треугольника тогда и только тогда, когда
a2 + b2 + c2 = ab + bc + ac.
|
|
|
Решение |
Задача 58394 |
|
|
Пусть точки A*, B*, C*, D* являются образами точек A, B, C,
D при инверсии. Докажите, что:
а)
:
=
:
;
б)
(DA, AC) -
(DB, BC) =
(D*B*, B*C*) -
(D*A*, A*C*).
|
|
|
Решение |
Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 22]
