Все источники
>>
Книги, журналы
>>
Прасолов В.В., Задачи по планиметрии
>>
глава 29. Аффинные преобразования
>>
параграф 3. Комплексные числа
Фильтр
Выбрано 9 задач Убрать все задачи
Известно, что z + z–1 = 2 cos α.
а) Докажите, что zn + z–n = 2 cos nα.
б) Как выражается zn + z–n через y = z + z–1?
Известно, что p > 3 и p – простое число.
а) Как вы думаете, будет ли хотя бы одно из чисел p + 1
и p – 1 делиться на 4?
б) А на 5?
Найдите радиус окружности, внутри которой расположены две окружности радиуса r и одна окружность радиуса R так, что каждая окружность касается двух других.
Через точку P, лежащую вне окружности, проводятся всевозможные прямые, пересекающие эту окружность. Найти множество середин хорд, отсекаемых окружностью на этих прямых.
Окружности S1 и S2 касаются внешним образом в точке F . Прямая l касается S1 и S2 в точках A и B соответственно. Прямая, параллельная прямой l , касается S2 в точке C и пересекает S1 в двух точках. Докажите, что точки A , F и C лежат на одной прямой.
На стороне KN параллелограмма KLMN с тупым углом при вершине M построен равносторонний треугольник KTN так, что точки T и M лежат по разные стороны прямой KN . Известно, что расстояния от точек T и K до прямой MN равны соответственно 8 и 5, а расстояние от точки T до прямой LM равно 10. Найдите площадь параллелограмма KLMN .
Докажите, что n5 + 4n делится на 5 при любом натуральном n.
В основании пирамиды SABC лежит треугольник ABC , у которого
AB=15 , BC=20 , а радиус окружности, описанной около этого
треугольника, равен 5
. На сторонах треугольника ABC как на
диаметрах построены три сферы, пересекающиеся в точке O . Точка O
является центром четвёртой сферы, причём вершина пирамиды S есть точка
касания этой сферы с некоторой плоскостью, параллельной плоскости
основания ABC . Площадь части четвёртой сферы, которая заключена внутри
трёхгранного угла, образованного лучами OA , OB и OC , равна 8π .
Найдите объём пирамиды SABC .
На сторонах аффинно правильного многоугольника
A1A2...An с центром O
внешним образом построены квадраты
Aj + 1AjBjCj + 1
(j = 1,..., n).
Докажите, что отрезки BjCj и OAj перпендикулярны, а их отношение равно
21 - cos(2
/n)
.
Задачи Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 22]
Задача 58401 |
|
|
Дан не равносторонний треугольник ABC. Точки A1, B1 и C1 выбраны
так, что треугольники BA1C, CB1A и AC1B собственно подобны. Докажите,
что треугольник A1B1C1 равносторонний тогда и только тогда, когда
указанные подобные треугольники являются равнобедренными треугольниками с углом
120o при вершинах A1, B1 и C1.
|
|
Решение |
Задача 58402 |
|
|
На сторонах аффинно правильного многоугольника
A1A2...An с центром O
внешним образом построены квадраты
Aj + 1AjBjCj + 1
(j = 1,..., n).
Докажите, что отрезки BjCj и OAj перпендикулярны, а их отношение равно
21 - cos(2
/n)
.
|
|
Решение |
Задача 58396[Неравенство Птолемея] |
|
|
а) Докажите, что если A, B, C и D — произвольные точки плоскости, то
AB . CD + BC . ADAC . BD (неравенство Птолемея).
б) Докажите, что если A1, A2, ...A6 — произвольные точки
плоскости, то
в) Докажите, что (нестрогое) неравенство Птолемея обращается в равенство тогда и только тогда, когда ABCD — (выпуклый) вписанный четырехугольник.
г) Докажите, что неравенство из задачи б) обращается в равенство тогда и только тогда, когда A1...A6 — вписанный шестиугольник.
|
|
|
Решение |
Задача 58403 |
|
|
На сторонах выпуклого n-угольника внешним образом построены правильные
n-угольники. Докажите, что их центры образуют правильный n-угольник тогда и
только тогда, когда исходный n-угольник аффинно правильный.
|
|
|
Решение |
Задача 58404 |
|
|
Вершины треугольника соответствуют комплексным числам a, b и c, лежащим
на единичной окружности с центром в нуле. Докажите, что если точки z и w
изогонально сопряжены, то
z + w + abc = a + b + c (Морли).
|
|
|
Решение |
Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 22]
