Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все источники >> Книги, журналы >> Прасолов В.В., Задачи по планиметрии >> глава 31. Эллипс, парабола, гипербола >> параграф 8. Коники, связанные с треугольником
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 13 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Докажите, что любая диагональ четырёхугольника меньше половины его периметра.

Вниз   Решение

а) Докажите, что S(A, B, C) = - S(B, A, C) = S(B, C, A).
б) Докажите, что для любых точек A, B, C и D справедливо равенство S(A, B, C) = S(D, A, B) + S(D, B, C) + S(D, C, A).

ВверхВниз   Решение

Три бегуна A, B и C бегут по параллельным дорожкам с постоянными скоростями. В начальный момент площадь треугольника ABC равна 2, через 5 с равна 3. Чему может быть она равна еще через 5 с?

ВверхВниз   Решение

Две окружности радиуса R пересекаются в точках M и N. Пусть A и B — точки пересечения серединного перпендикуляра к отрезку MN с этими окружностями, лежащие по одну сторону от прямой MN. Докажите, что MN2 + AB2 = 4R2.

ВверхВниз   Решение

Никакие три из четырех точек A, B, C, D не лежат на одной прямой. Докажите, что угол между описанными окружностями треугольников ABC и ABD равен углу между описанными окружностями треугольников ACD и BCD.

ВверхВниз   Решение

Каждая диагональ выпуклого пятиугольника ABCDE отсекает от него треугольник единичной площади. Вычислите площадь пятиугольника ABCDE.

ВверхВниз   Решение

Если на плоскости заданы пять точек, то, рассматривая всевозможные тройки этих точек, можно образовать 30 углов. Обозначим наименьший из этих углов $ \alpha$. Найдите наибольшее значение $ \alpha$.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что с помощью гомотетии с центром (0, 0) параболу 2py = x2 можно перевести в параболу y = x2.

ВверхВниз   Решение

Внутри окружности с центром O дана точка A. Найдите точку M окружности, для которой угол OMA максимален.

ВверхВниз   Решение

Внутри прямоугольника ABCD взята точка M. Докажите, что существует выпуклый четырехугольник с перпендикулярными диагоналями длины AB и BC, стороны которого равны AM, BM, CM, DM.

ВверхВниз   Решение

Окружность радиуса 2$ \sqrt{x_0^2+x_0^{-2}}$ с центром (x0, x0-1) пересекает гиперболу xy = 1 в точке (- x0, - x0-1) и в точках A, B, C. Докажите, что треугольник ABC равносторонний.

ВверхВниз   Решение

Через данную точку проведите окружность, касающуюся двух данных окружностей (или окружности и прямой).

ВверхВниз   Решение

Коника задаётся в барицентрических координатах уравнением

p$\displaystyle \alpha$$\displaystyle \beta$ + q$\displaystyle \alpha$$\displaystyle \gamma$ + r$\displaystyle \beta$$\displaystyle \gamma$ = 0.

Докажите, что её центр имеет барицентрические координаты

$\displaystyle \bigl($r(p + q - r) : q(p + r - q) : p(r + q - p)$\displaystyle \bigr)$.


Вверх   Решение

Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 9]      

  с решениями  

Задача 58543  (#31.076)

Тема:   [ Кривые второго порядка ]
Сложность: 3
Классы: 10,11

а) Докажите, что в трилинейных координатах описанная коника (т.е. коника, проходящая через все вершины треугольника) задаётся уравнением вида

pxy + qxz + rzy = 0.


б) Докажите, что в трилинейных координатах коника, касающаяся всех сторон треугольника или их продолжений, задаётся уравнением вида

px2 + qy2 + rz2 = 2(±$\displaystyle \sqrt{pq}$xy±$\displaystyle \sqrt{pr}$xz±$\displaystyle \sqrt{qr}$yz).


Прислать комментарий     Решение

Задача 58544  (#31.077)

Тема:   [ Кривые второго порядка ]
Сложность: 3
Классы: 10,11

Коника задаётся в барицентрических координатах уравнением

p$\displaystyle \alpha$$\displaystyle \beta$ + q$\displaystyle \alpha$$\displaystyle \gamma$ + r$\displaystyle \beta$$\displaystyle \gamma$ = 0.

Докажите, что её центр имеет барицентрические координаты

$\displaystyle \bigl($r(p + q - r) : q(p + r - q) : p(r + q - p)$\displaystyle \bigr)$.


Прислать комментарий     Решение

Задача 58545  (#31.078)

Тема:   [ Кривые второго порядка ]
Сложность: 3
Классы: 10,11

Докажите, что кривая, изогонально сопряженная прямой, не проходящей через вершины треугольника, является коникой, проходящей через вершины треугольника.
Прислать комментарий     Решение

Задача 58546  (#31.079)

Тема:   [ Кривые второго порядка ]
Сложность: 3
Классы: 10,11

Дан треугольник ABC и прямая l, не проходящая через его вершины.
а) Докажите, что кривая, изогонально сопряжённая прямой l, является эллипсом, если l не пересекает описанную окружность треугольника ABC; параболой если l касается описанной окружности; гиперболой если l пресекает описанную окружность в двух точках.
б) Докажите, что кривая, изотомически сопряжённая прямой l, является эллипсом, если l не пересекает описанный эллипс Штейнера треугольника ABC; параболой если l касается эллипса Штейнера; гиперболой если l пресекает эллипс Штейнера в двух точках.
Прислать комментарий     Решение

Задача 58547  (#31.080)

Тема:   [ Кривые второго порядка ]
Сложность: 3
Классы: 10,11

а) Докажите, что кривая, изогонально сопряженная прямой, проходящей через центр O описанной окружности, является равнобочной гиперболой, проходящей через вершины треугольника.
б) Докажите, что центр этой коники лежит на окружности девяти точек.
Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 9]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .