Каталог по источникам

Выбрано 14 задач

На продолжениях оснований AD и BC трапеции ABCD за точки A и C взяты точки K и L. Отрезок KL пересекает стороны AB и CD в точках M и N, а диагонали AC и BD в точках O и P. Докажите, что если KM = NL, то KO = PL.

Решение

На основании AD трапеции ABCD взята точка E так, что AE = BC. Отрезки CA и CE пересекают диагональ BD в точках O и P соответственно.
Докажите, что если BO = PD, то AD² = BC² + AD·BC.

Решение

Докажите, что среди любых шести человек есть либо трое попарно знакомых, либо трое попарно незнакомых.

Решение

Найдите произведения следующих формальных степенных рядов:

а) (1 + x + x² + x³ +...)(1 - x + x² - x³ +...);

б) (1 + x + x² + x³ +...)²;

в) $\left(\vphantom{1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\ldots+\dfrac{x^n}{n!}+\ldots}\right.$ 1 + x + ${\dfrac{x^2}{2!}}$ +...+ ${\dfrac{x^n}{n!}}$ +... $\left.\vphantom{1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\ldots+\dfrac{x^n}{n!}+\ldots}\right)$ $\left(\vphantom{1-x+\dfrac{x^2}{2!}-\ldots+\dfrac{(-x)^n}{n!}+\ldots}\right.$ 1 - x + ${\dfrac{x^2}{2!}}$ -...+ ${\dfrac{(-x)^n}{n!}}$ +... $\left.\vphantom{1-x+\dfrac{x^2}{2!}-\ldots+\dfrac{(-x)^n}{n!}+\ldots}\right)$ .

Решение

Автор: Заславский А.А.

Общие перпендикуляры к противоположным сторонам пространственного четырёхугольника взаимно перпендикулярны.
Докажите, что они пересекаются.

Решение

Рассмотрим число Докажите, что оно

а) меньше ¹/₁₀; б) меньше ¹/₁₂; в) больше ¹/₁₅.

Решение

9 кг ирисок стоят дешевле 10 рублей, а 10 кг тех же ирисок – дороже 11 рублей. Сколько стоит 1 кг этих ирисок?

Решение

Каждое из рёбер полного графа с 17 вершинами покрашено в один из трёх цветов.
Докажите, что есть три вершины, все рёбра между которыми – одного цвета.

Решение

Докажите неравенство: 2ⁿ > n.

Решение

Найдите такие линейные функции P(x) и Q(x), чтобы выполнялось равенство P(x)(2x³ – 7x² + 7x – 2) + Q(x)(2x³ + x² + x – 1) = 2x – 1.

Решение

Найдите остаток R(x) от деления многочлена xⁿ + x + 2 на x² – 1.

Решение

Сколько двоек будет в разложении на простые множители числа 1984! ?

Решение

Концы отрезков AB и CD перемещаются по сторонам данного угла, причем прямые AB и CD перемещаются параллельно; M – точка пересечения отрезков AB и CD. Докажите, что величина остается постоянной.

Решение

При помощи метода неопределенных коэффициентов найдите такие линейные функции P(x) и Q(x), чтобы выполнялось равенство
P(x)(x² – 3x + 2) + Q(x)(x² + x + 1) = 21.

Решение

Задача 60995 (#06.072)

Задача 60996 (#06.073)

Задача 60997 (#06.074)

Задача 60998 (#06.075)

Задача 60999 (#06.076)