Каталог по источникам

Выбрано 15 задач

Пусть (1 + $\sqrt{2}$ + $\sqrt{3}$ )ⁿ = p_n + q_n $\sqrt{2}$ + r_n $\sqrt{3}$ + s_n $\sqrt{6}$ (n $\geqslant$ 0). Найдите:

а) $\lim\limits_{n\to \infty}^{}$ ${\dfrac{p_n}{q_n}}$ ; б) $\lim\limits_{n\to \infty}^{}$ ${\dfrac{p_n}{r_n}}$ ; в) $\lim\limits_{n\to \infty}^{}$ ${\dfrac{p_n}{s_n}}$ .

Решение

Два охотника отправились одновременно навстречу друг другу из двух деревень, расстояние между которыми 18 км. Первый шёл со скоростью 5 км/ч, а второй – 4 км/ч. Первый охотник взял с собой собаку, которая бежала со скоростью 8 км/ч. Собака сразу же побежала навстречу второму охотнику, встретила его, тявкнула, повернула и с той же скоростью побежала навстречу хозяину, и так далее. Так она бегала до тех пор, пока охотники не встретились. Сколько километров она пробежала?

Решение

Имеется таблица 1999×2001. Известно, что произведение чисел в каждой строке отрицательно.
Докажите, что найдётся столбец, произведение чисел в котором тоже отрицательно.

Решение

На доске написаны числа 1, 2, 3, ..., 1984, 1985. Разрешается стереть с доски любые два числа и вместо них записать модуль их разности. В конце концов на доске останется одно число. Может ли оно равняться нулю?

Решение

Пловец плывёт вверх против течения Невы. Возле Дворцового моста он потерял пустую фляжку. Проплыв еще 20 минут против течения, он заметил потерю и вернулся догонять флягу; догнал он её возле моста лейтенанта Шмидта. Какова скорость течения Невы, если расстояние между мостами равно 2 км?

Решение

Можно ли так расставить знаки "+" или "–" между каждыми двумя соседними цифрами числа 123456789, чтобы полученное выражение равнялось нулю?

Решение

Из пункта A в пункт B выехал велосипедист. Одновременно из пункта B в пункт A навстречу велосипедисту вышел пешеход. После их встречи велосипедист повернул обратно, а пешеход продолжил свой путь. Известно, что велосипедист вернулся в пункт A на 30 минут раньше пешехода, при этом его скорость была в 5 раз больше скорости пешехода. Сколько времени затратил пешеход на путь из A в B?

Решение

Точка P лежит внутри треугольника ABC, причём ∠ABP = ∠ACP. На прямых AB и AC взяты такие точки C₁ и B₁, что BC₁ : CB₁ = CP : BP. Докажите, что одна из диагоналей параллелограмма, две стороны которого лежат на прямых BP и CP, а две другие стороны (или их продолжения) проходят через B₁ и C₁, параллельна BC.

Решение

На клетчатой бумаге нарисован замкнутый путь (по линиям сетки). Доказать, что он имеет чётную длину (сторона клетки имеет длину 1).

Решение

Найдите у чисел а) (6 + )¹⁹⁹⁹; б) (6 + )¹⁹⁹⁹; в) (6 + )²⁰⁰⁰ первые 1000 знаков после запятой.

Решение

В народной дружине 100 человек. Каждый вечер на дежурство выходят трое.
Можно ли организовать дежурство так, чтобы через некоторое время оказалось, что каждый дежурил с каждым ровно один раз?

Решение

Каким линейным рекуррентным соотношениям удовлетворяют последовательности

a) a_n = n²; б) a_n = n³?

Решение

Отличник Поликарп купил общую тетрадь объёмом 96 листов и пронумеровал все её страницы по порядку числами от 1 до 192. Двоечник Колька вырвал из этой тетради 25 листов и сложил все 50 чисел, которые на них написаны. В ответе у Кольки получилось 2002. Не ошибся ли он?

Решение

Можно ли составить магический квадрат из первых 36 простых чисел?
Магический квадрат – это квадратная таблица, заполненная числами, в которой суммы чисел во всех строках и столбцах равны.

Решение

Докажите, что при всех натуральных n выполняется сравнение [(1 + $\sqrt{2}$ )ⁿ] $\equiv$ n(mod 2).

Решение

Задача 61478 (#11.051)

Задача 61479 (#11.052)

Задача 61480 (#11.053)

Задача 61481 (#11.054)

Задача 61482 (#11.055)