Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все источники >> Олимпиады и турниры >> Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер:
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 17 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Рассмотрим равнобедренные треугольники с одними и теми же боковыми сторонами.
Докажите, что чем больше угол при вершине, тем меньше высота, опущенная на основание.

Вниз   Решение

Угол треугольника равен сумме двух других его углов. Докажите, что треугольник прямоугольный.

ВверхВниз   Решение

Пусть h — наибольшая высота нетупоугольного треугольника. Докажите, что r + R $ \leq$ h.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что прямая, проходящая через точки a1 и a2, задаётся уравнением

z($\displaystyle \bar{a}_{1}^{}$ - $\displaystyle \bar{a}_{2}^{}$) - $\displaystyle \bar{z}$(a1 - a2) + (a1$\displaystyle \bar{a}_{2}^{}$ - $\displaystyle \bar{a}_{1}^{}$a2) = 0.


ВверхВниз   Решение

В треугольнике ABC  ∠A = 45°,  BH – высота, точка K лежит на стороне AC, причём  BC = CK.
Докажите, что центр описанной окружности треугольника ABK совпадает с центром вневписанной окружности треугольника BCH.

ВверхВниз   Решение

Автор: Фольклор

Два параллелограмма расположены так, как показано на рисунке. Докажите, что диагональ одного параллелограмма проходит через точку пересечения диагоналей другого.

ВверхВниз   Решение

Доказать: сумма
  а) любого количества чётных слагаемых чётна;
  б) чётного количества нечётных слагаемых чётна;
  в) нечётного количества нечётных слагаемых нечётна.

ВверхВниз   Решение

Вася сложил четвёртую степень и квадрат некоторого числа, отличного от нуля, и сообщил результат Пете.
Сможет ли Петя однозначно определить Васино число?

ВверхВниз   Решение

Докажите, что треугольники abc и a'b'c' собственно подобны, тогда и только тогда, когда

a'(b - c) + b'(c - a) + c'(a - b) = 0.


ВверхВниз   Решение

Рассмотрим равнобедренные треугольники с одними и теми же боковыми сторонами.
Докажите, что чем больше основание, тем меньше проведённая к нему высота.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что отрезок, соединяющий вершину равнобедренного треугольника с точкой, лежащей на основании, не больше боковой стороны треугольника.

ВверхВниз   Решение

Решить уравнение  x8 + 4x4 + x² + 1 = 0.

ВверхВниз   Решение

В гости пришло 10 гостей и каждый оставил в коридоре пару калош. Все пары калош имеют разные размеры. Гости начали расходиться по одному, одевая любую пару калош, в которые они могли влезть (т.е. каждый гость мог надеть пару калош, не меньшую, чем его собственные). В какой-то момент обнаружилось, что ни один из оставшихся гостей не может найти себе пару калош, чтобы уйти. Какое максимальное число гостей могло остаться?

ВверхВниз   Решение

Автор: Богданов И.И.

В треугольнике ABC биссектриса AK перпендикулярна медиане CL.
Докажите, что в треугольнике BKL также одна из биссектрис перпендикулярна одной из медиан.

ВверхВниз   Решение

Из точки M, лежащей на стороне AB остроугольного треугольника ABC, опущены перпендикуляры MP и MQ на стороны BC и AC. При каком положении точки M длина отрезка PQ минимальна?

ВверхВниз   Решение

Дан треугольник со сторонами a, b и c, причём  a ≥ b ≥ c;  x, y и z – углы некоторого другого треугольника. Докажите, что

bc + ca – ab < bc cos x + ca cos y + ab cos z ≤ ½ (a² + b² + c²).

ВверхВниз   Решение

Автор: Блинков Ю.А.

Диагонали вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O. Описанные окружности треугольников AOB и COD пересекаются в точке M на стороне AD. Докажите, что точка O – центр вписанной окружности треугольника BMC.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 185]      

  с решениями  

Задача 116084

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Четырехугольники (прочее) ]
Сложность: 2+
Классы: 10,11

Автор: Акопян А.В.

Существуют ли два таких четырехугольника, что стороны первого меньше соответствующих сторон второго, а соответствующие диагонали больше?
Прислать комментарий     Решение

Задача 116190

Темы:   [ Теорема синусов ]
[ Экстремальные точки треугольника ]
Сложность: 2+
Классы: 10,11

Автор: Шарыгин И.Ф.

Дан остроугольный треугольник ABC. Прямая, параллельная BC, пересекает стороны AB и AC в точках M и P соответственно. При каком расположении точек M и P радиус окружности, описанной около треугольника BMP, будет наименьшим?

Прислать комментарий     Решение

Задача 64332

Темы:   [ Взаимное расположение высот, медиан, биссектрис и проч. ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

Автор: Богданов И.И.

В треугольнике ABC биссектриса AK перпендикулярна медиане CL.
Докажите, что в треугольнике BKL также одна из биссектрис перпендикулярна одной из медиан.

Прислать комментарий     Решение

Задача 64338

Темы:   [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Ортоцентр и ортотреугольник ]
Сложность: 3
Классы: 10,11

Автор: Блинков Ю.А.

Диагонали вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O. Описанные окружности треугольников AOB и COD пересекаются в точке M на стороне AD. Докажите, что точка O – центр вписанной окружности треугольника BMC.

Прислать комментарий     Решение

Задача 64733

Темы:   [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Вневписанные окружности ]
Сложность: 3

В треугольнике ABC  ∠A = 45°,  BH – высота, точка K лежит на стороне AC, причём  BC = CK.
Докажите, что центр описанной окружности треугольника ABK совпадает с центром вневписанной окружности треугольника BCH.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 185]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .