Версия для печати
Убрать все задачи

---

Поверхность выпуклого многогранника A₁B₁C₁A₂B₂C₂ состоит из восьми треугольных граней A_iB_jC_k, где i, j, k меняются от 1 до 2. Сфера с центром в точке O касается всех этих граней. Докажите, что точка O и середины трёх отрезков A₁A₂, B₁B₂ и C₁C₂ лежат в одной плоскости.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 29]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 64711  (#5)

Темы:   [ Задачи с неравенствами. Разбор случаев ] [ Исследование квадратного трехчлена ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

В городе Плоском нет ни одной башни. Для развития туризма жители города собираются построить несколько башен общей высотой в 30 этажей. Инспектор Высотников, поднимаясь на каждую башню, считает число более низких башен, а потом складывает получившиеся величины. После чего инспектор рекомендует город тем сильнее, чем получившаяся величина больше. Сколько и какой высоты башен надо построить жителям, чтобы получить наилучшую возможную рекомендацию?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64717  (#5)

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10

Радикалом натурального числа N (обозначается rad(N)) называется произведение всех простых делителей числа N, взятых по одному разу. Например,
rad(120) = 2·3·5 = 30.  Существует ли такая тройка попарно взаимно простых натуральных чисел A, B, C, что  A + B = C  и  C > 1000 rad(ABC)?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64723  (#5)

Темы:   [ Теория игр (прочее) ] [ Признаки подобия ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Вписанные и описанные многоугольники ] [ Комплексные числа в геометрии ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Дан треугольник, у которого нет равных углов. Петя и Вася играют в такую игру: за один ход Петя отмечает точку на плоскости, а Вася красит её по своему выбору в красный или синий цвет. Петя выиграет, если какие-то три из отмеченных им и покрашенных Васей точек образуют одноцветный треугольник, подобный исходному. За какое наименьшее число ходов Петя сможет гарантированно выиграть (каков бы ни был исходный треугольник)?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64664  (#5)

Тема:   [ Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Многочлен P(x) удовлетворяет условиям:  P(0) = 1,  (P(x))² = 1 + x + x¹⁰⁰Q(x),  где Q(x) – некий многочлен.
Докажите, что коэффициент при x⁹⁹ в многочлене  (P(x) + 1)¹⁰⁰  равен нулю.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64732  (#5)

Темы:   [ Описанные многогранники ] [ Векторы помогают решить задачу ] [ Проектирование помогает решить задачу ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

Поверхность выпуклого многогранника A₁B₁C₁A₂B₂C₂ состоит из восьми треугольных граней A_iB_jC_k, где i, j, k меняются от 1 до 2. Сфера с центром в точке O касается всех этих граней. Докажите, что точка O и середины трёх отрезков A₁A₂, B₁B₂ и C₁C₂ лежат в одной плоскости.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 29]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями