Версия для печати
Убрать все задачи
Существуют ли такие три попарно различных натуральных числа
a,
b и
c, что числа
a + b + c и
a ·
b ·
c являются квадратами некоторых натуральных чисел?
Решение
Иван-царевич имеет два волшебных меча, один из которых может отрубить Змею Горынычу 21 голову, а второй – 4 головы, но тогда у Змея Горыныча вырастает 1999 голов. Сможет ли Иван отрубить Змею Горынычу все головы, если в самом начале у Змея было 100 голов? (Если, например, у Змея Горыныча осталось лишь три головы, то рубить их ни тем, ни другим мечом нельзя.)
Решение
В шахматном турнире каждый участник сыграл с каждым из остальных две партии: одну белыми фигурами, другую – чёрными. По окончании турнира оказалось, что все участники набрали одинаковое количество очков (за победу дается 1 очко, за ничью – ½ очка, за поражение – 0 очков). Докажите, что найдутся два участника, выигравшие одинаковое число партий белыми.
Решение
В квадрате ABCD точки E и F – середины сторон BC и CD соответственно. Отрезки AE и BF пересекаются в точке G.
Что больше: площадь треугольника AGF или площадь четырёхугольника GECF?
Решение
Фильтр
