Версия для печати
Убрать все задачи

---

По кругу стоят буквы A и B, всего 41 буква. Можно заменять ABA на B и наоборот, а также BAB на A и наоборот.
Верно ли, что из любого начального расположения можно получить такими операциями круг, на котором стоит ровно одна буква?

   Решение

---

а) На каждой стороне десятиугольника (не обязательно выпуклого) как на диаметре построили окружность. Может ли оказаться, что все эти окружности имеют общую точку, не совпадающую ни с одной вершиной десятиугольника?
б) Решите ту же задачу для одиннадцатиугольника.

   Решение

Страница: << 97 98 99 100 101 102 103 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 66100

Темы:   [ Исследование квадратного трехчлена ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Докажите, что на графике любого квадратного трёхчлена со старшим коэффициентом 1, имеющего ровно один корень, найдётся такая точка  (p, q),  что трёхчлен  x² + px + q  также имеет ровно один корень.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66101

Темы:   [ Биссектриса угла ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Свойства симметрий и осей симметрии ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Из вершины A остроугольного треугольника ABC по биссектрисе угла A выпустили бильярдный шарик, который отразился от стороны BC по закону "угол падения равен углу отражения" и дальше катился по прямой, уже ни от чего не отражаясь. Докажите, что если  ∠A = 60°,  то траектория шарика проходит через центр описанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66102

Темы:   [ Перестановки и подстановки (прочее) ] [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ] [ Теория алгоритмов (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

В ряд стоят 100 детей разного роста. Разрешается выбрать любых 50 детей, стоящих подряд, и переставить их между собой как угодно (остальные остаются на своих местах). Как всего за шесть таких перестановок гарантированно построить всех детей по убыванию роста слева направо?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66103

Темы:   [ Невыпуклые многоугольники ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

а) На каждой стороне десятиугольника (не обязательно выпуклого) как на диаметре построили окружность. Может ли оказаться, что все эти окружности имеют общую точку, не совпадающую ни с одной вершиной десятиугольника?
б) Решите ту же задачу для одиннадцатиугольника.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66104

Темы:   [ Правильные многоугольники ] [ Векторы сторон многоугольников ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Дан правильный 12-угольник A₁A₂...A₁₂.
Можно ли из 12 векторов    выбрать семь, сумма которых равна нулевому вектору?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 97 98 99 100 101 102 103 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями