В треугольник ABC со сторонами  AB = 5,  BC = 7,  CA = 10  вписана окружность. Прямая, пересекающая стороны AB и BC в точках M и K, касается этой окружности. Найдите периметр треугольника MBK.

   Решение

В какое наименьшее количество цветов можно покрасить натуральные числа так, чтобы любые два числа, отличающиеся на 2 или в два раза, были покрашены в разные цвета?

   Решение

Пусть ABC – остроугольный треугольник, в котором  AC < BC; M – середина стороны AB. В описанной окружности Ω треугольника ABC, проведён диаметр CC'. Прямая CM пересекает прямые AC' и BC' в точках K и L соответственно. Перпендикуляр к прямой AC', проведённый через точку K, перпендикуляр к прямой BC', проведённый через точку L, и прямая AB образуют треугольник Δ. Докажите, что описанная окружность ω треугольника Δ касается окружности Ω.

   Решение

Биссектрисы BD и CE треугольника ABC пересекаются в точке O.
Докажите, что если  OD = OE,  то либо треугольник равнобедренный, либо его угол при вершине A равен 60°.

   Решение

Геологи взяли в экспедицию 80 банок консервов, веса которых все известны и различны (имеется список). Через некоторое время надписи на консервах стали нечитаемыми, и только завхоз знает, где что. Он может это всем доказать (то есть обосновать, что в какой банке находится), не вскрывая консервов и пользуясь только сохранившимся списком и двухчашечными весами со стрелкой, показывающей разницу весов.
Докажите, что для этой цели ему
  а) достаточно четырёх взвешиваний и
  б) недостаточно трёх.

   Решение

Сторона квадрата равна 1. Через его центр проведена прямая. Вычислите сумму квадратов расстояний от четырёх вершин квадрата до этой прямой.

   Решение

Докажите, что количество положительных корней многочлена  f(x) = a_nxⁿ + ... + a₁x + a₀  не превосходит числа перемен знака в последовательности  a_n, ..., a₁, a₀.

   Решение

Дан выпуклый четырёхугольник площади S. Внутри него выбирается точка и отображается симметрично относительно середин его сторон. Получаются четыре вершины нового четырёхугольника. Найдите его площадь.

   Решение

Мальчик едет на самокате от одной автобусной остановки до другой и смотрит в зеркало, не появился ли сзади автобус. Как только мальчик замечает автобус, он может изменить направление движения. При каком наибольшем расстоянии между остановками мальчик гарантированно не упустит автобус, если он знает, что едет со скоростью, втрое меньшей скорости автобуса, и способен увидеть автобус на расстоянии не более 2 км?

   Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 29]      

Том написал на заборе из досок слово ММО, а Гек — число 2020. Ширина каждой буквы и цифры 9 см, а ширина доски забора — 5 см. Мог ли Гек испачкать меньше досок, чем Том? (Доски расположены вертикально, а слова и числа пишутся горизонтально. Цифры и буквы пишутся через равные промежутки.)

Прислать комментарий

Решение

Существует ли натуральное число, делящееся на 2020, в котором всех цифр 0, 1, 2, ..., 9 поровну?

Прислать комментарий

Решение

Приведите пример такого квадратного трехчлена $P(x)$, что при любом $x$ справедливо равенство $P(x)+P(x+1)+\dots + P(x+10)=x^2$.

Прислать комментарий

Решение

Приведите пример числа, делящегося на 2020, в котором каждая из десяти цифр встречается одинаковое количество раз.

Прислать комментарий

Решение

Мальчик едет на самокате от одной автобусной остановки до другой и смотрит в зеркало, не появился ли сзади автобус. Как только мальчик замечает автобус, он может изменить направление движения. При каком наибольшем расстоянии между остановками мальчик гарантированно не упустит автобус, если он знает, что едет со скоростью, втрое меньшей скорости автобуса, и способен увидеть автобус на расстоянии не более 2 км?

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 29]