Версия для печати
Убрать все задачи

---

В окружности $\omega$, описанной около треугольника $ABC$, хорда $KL$ проходит через середину $M$ отрезка $AB$ и перпендикулярна ей. Некоторая окружность проходит через точки $L$ и $M$ и пересекает отрезок $CK$ в точках $P$ и $Q$ ($Q$ лежит на отрезке $KP$). Пусть $LQ$ пересекает описанную окружность треугольника $KMQ$ в точке $R$. Докажите, что четырехугольник $APBR$ вписанный.

   Решение

Страница: << 90 91 92 93 94 95 96 >> [Всего задач: 915]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 116909

Темы:   [ Пятиугольники ] [ Перегруппировка площадей ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

В выпуклом пятиугольнике P провели все диагонали, в результате чего он оказался разбитым на десять треугольников и один пятиугольник P'. Из суммы площадей треугольников, прилегающих к сторонам P, вычли площадь P'; получилось число N. Совершив те же операции с пятиугольником P', получили число N'. Докажите, что  N > N'.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66687

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

В окружности $\omega$, описанной около треугольника $ABC$, хорда $KL$ проходит через середину $M$ отрезка $AB$ и перпендикулярна ей. Некоторая окружность проходит через точки $L$ и $M$ и пересекает отрезок $CK$ в точках $P$ и $Q$ ($Q$ лежит на отрезке $KP$). Пусть $LQ$ пересекает описанную окружность треугольника $KMQ$ в точке $R$. Докажите, что четырехугольник $APBR$ вписанный.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66780

Темы:   [ Экстремальные свойства треугольника (прочее) ] [ Против большей стороны лежит больший угол ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Пусть $A_1A_2A_3$ – остроугольный треугольник, радиус описанной окружности равен $1$, $O$ – ее центр. Из вершин $A_i$ проведены чевианы через $O$ до пересечения с противолежащими сторонами в точках $B_i$ соответственно $(i=1, 2, 3)$.

(а) Из трех отрезков $B_iO$ выберем самый длинный. Какова его наименьшая возможная длина?

(б) Из трех отрезков $B_iO$ выберем самый короткий. Какова его наибольшая возможная длина?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66966

Темы:   [ Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Пусть $A_1$, $A_2$, $A_3$, $A_4$ и $B_1$, $B_2$, $B_3$, $B_4$ – две четверки точек, не лежащих на одной окружности. Известно, что для любых $i$, $j$, $k$ радиусы описанных окружностей треугольников $A_iA_jA_k$ и $B_iB_jB_k$ равны. Обязательно ли $A_iA_j=B_iB_j$ для любых $i$, $j$?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67095

Темы:   [ Касающиеся окружности ] [ Окружность, вписанная в угол ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Изогональное сопряжение ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Треугольник $ABC$ вписан в окружность $\omega_1$ с центром $O$. Окружность $\omega_2$ касается сторон $AB$, $AC$ и касается дуги $BC$ описанной окружности в точке $K$. Пусть $I$ – центр вписанной окружности треугольника $ABC$. Докажите, что прямая $OI$ содержит симедиану треугольника $AIK$.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 90 91 92 93 94 95 96 >> [Всего задач: 915]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями